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第1课时 数列的概念及简单表示法

学习目标：1.理解数列的概念(重点).2.掌握数列的通项公式及应用(重点).3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．数列的概念及一般形式

思考1：(1)数列的项和它的项数是否相同？

(2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？

[提示] (1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．

2．数列的分类

按项的 个数 类别 有穷数列 无穷数列 递增数列 含义 项数有限的数列 项数无限的数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 各项相等的数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 按项的 变化趋 势 递减数列 常数列 摆动数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

4．数列与函数的关系

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从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 解析式 值域 表示方法 正整数集N(或它的有限子集{1,2,3，…，n}) 数列的通项公式 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 ＋思考：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ [提示] 如图，数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)数列1,1,1，…是无穷数列．( )

(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√

提示：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．

(2)错误．虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．

(3)正确．某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．

2．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 24 [an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]

3．数列{an}满足an＝log2(n＋3)－2，则log23是这个数列的第________项.

【导学号：91432112】

3 [令an＝log2(n＋3)－2＝log23，解得n＝3.]

4．数列1,2, 7，10，13，…中的第26项为________． 219 [因为a1＝1＝1，a2＝2＝4，

2

2

*

a3＝7，a4＝10，a5＝13，所以an＝3n－2，

所以a26＝3×26－2＝76＝219.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

数列的概念及分类

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已知下列数列：

①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； 111

②1，，，…，n－1，…；

242

23－·n③1，－，，…，，…；

352n－1④1,0，－1，…，sin

n－1

nπ

2

，…；

⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.

其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．

①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]

[规律方法] 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)； (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限． [跟踪训练] 1．给出下列数列： (1)2010～2017

年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列

82,93,105,118,132,147,163,180.

(2)无穷多个3构成数列3， 3， 3， 3，….

(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________.

【导学号：91432113】

(1) (2)(3) (1) (2) (3) [(1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列．]

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