内容发布更新时间 : 2024/12/22 16:56:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
（1）求这条抛物线对应的函数解析式； （2）求直线AB对应的函数解析式．
【分析】（1）利用△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a﹣4a=0，然后解关于a的方程求出a，即可得到抛物线解析式；
（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，
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∴△=4a﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，
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∴抛物线解析式为y=x+2x+1；
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（2）∵y=（x+1），
∴顶点A的坐标为（﹣1，0）， ∵点C是线段AB的中点， 即点A与点B关于C点对称， ∴B点的横坐标为1，
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当x=1时，y=x+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4）， 设直线AB的解析式为y=kx+b，
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把A（﹣1，0），B（1，4）代入得∴直线AB的解析式为y=2x+2．
，解得，
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【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b
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﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，
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抛物线与x轴有1个交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式． 22．（8分）（2016?淄博）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE=（AB+AC）．
【分析】（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．
（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD， ∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE， ∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．
（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G． ∵EF∥CG，
∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE， ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠G=∠ACG， ∴AG=AC，
∵BM=CM．EM∥CG， ∴BE=EG，
∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．
【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型．
23．（9分）（2016?淄博）已知，点M是二次函数y=ax（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为． （1）求a的值；
（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；
（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．
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），
【分析】（1）设Q（m，），F（0，
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），根据QO=QF列出方程即可解决问题．
（2）设M（t，t），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决
问题．
（3）设M（n，n）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解决问题． 【解答】解：（1）∵圆心O的纵坐标为，∴设Q（m，），F（0，∵QO=QF，∴m+（）=m+（﹣
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），
），∴a=1，∴抛物线为y=x．
（2）∵M在抛物线上，设M（t，t），Q（m，）， ∵O、Q、M在同一直线上，
∴KOM=KOQ，∴∵QO=QM，
=，∴m=，
∴m+（）=（m﹣t）=（﹣t）， 整理得到：﹣ t+t+t﹣2mt=0， ∴4t+3t﹣1=0，
∴（t+1）（4t﹣1）=0，∴t1=，t2=﹣， 当t1=时，m1=， 当t2=﹣时，m2=﹣．
∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．
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（3）设M（n，n）（n＞0）， ∴N（n，0），F（0，），
∴MF===n+，MN+OF=n+， ∴MF=MN+OF．
【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型． 24．（9分）（2016?淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证： =； （2）求证：AF⊥FM；
（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．
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【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题． （2）由（1）的结论即可证明．
（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠MAF=∠MBE，
∴A、B、M、F四点共圆， ∴∠ABM+∠AFM=180°， ∴∠AFM=90°，
∴∠FAM=∠FMA=45°， ∴AM=
AF，
∴=．
（2）由（1）可知∠AFM=90°， ∴AF⊥FM．
（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM 理由：∵A、B、M、F四点共圆， ∴∠BAM=∠EFM， ∵∠BAM=∠FMN， ∴∠EFM=∠FMN， ∴MN∥BD，
∴=，∵CB=DC， ∴CM=CN， ∴MB=DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN， ∴∠BAM=∠DAN， ∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°， ∴∠BAM=22.5°．
【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆．