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2016高考数学解题方法

第1计 芝麻开门 点到成功 ●计名释义

七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.

数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范

1rCnr(n?1)Cn［例题］将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个

如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以

看出

111??rr(n?1)Cn(n?1)CnxnCn?1，其中x? . an?令

111111???????223123060nCn(n?1)Cn?1，

则n?? .

［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.

1莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点1的主意.

liman?

11111???rrxr2(n?1)Cn(n?1)C(n?1)CnCnnn?1［解Ⅰ］ 将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有

1x(n?1)Cn?121

rnCn?1?11

对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1

对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.

［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何

一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.

1第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项3.

11111an??????3123060［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项3，并将和数列 中的各项依次“以点

111连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项3左上角的那个2. 因为2在向下一

分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.

因此得到n??

liman?12 这就是本题第2空的答案.

1［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数3，采用的方法是以点串线——三角形中

1的实线，实线上端折线所对的那个数2就是问题的答案.

1 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从20这个数开始，向左下连线（无穷射线），111111?????12 所连各数之和（的极限）就是20这个数的左上角的那个数12. 用等式表示就是2060140

［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题.

有关解答附录如下.

111??rr?1r(n?1)C(n?1)CnCnnn?1知，可用合项的办法，将an的和式逐步合项. ［法1］ 由an?11111??????2231230nCn(n?1)Cn?1

??1111111??????????22221?13C24C325C4nCn(n?1)Cn(n?1)Cn(n?1)Cn?1?? ?

?11111?1?????????221?1?nC23C24C325C4?n?1nCn?1?(n?1)Cn

?11?11111?????????21111?3C3C2?(n?1)Cn2C1(n?1)C2(n?1)n2??n

?12

［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即

an?11111??????012n?3n?23C24C35C4nCn(n?1)Cn?1根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一

11n?1(n?1)Cn项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为2，

?1?1111??liman?lim??an??n?1?2n?12n??n???(n?1)Cn?2(n?1)Cn，从而?故

111??r?1rr(n?1)CnC(n?1)Cx?r?1nn?1n［法3］ （2）将代入条件式，并变形得

取r?1,令n?2,3,?,n,?得

11111111??????211213(2?1)C12(3?1)C32C13C23C124C3， 2

1111???21130(4?1)C44C35C4 … … …

111111????211211nCn(n?1)CnnCnnCn(n?1)Cn?1?1?1 (n?1)Cn?1

an?以上诸式两边分别相加，得

11?2n(n?1)1?2

［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到

“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练

x2y2??125161．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂

线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，

则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.

2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .

●参考解答

1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.

连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10