内容发布更新时间 : 2024/6/18 21:09:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

导数在不等式证明中的应用

引言

不等式的证明是数学学习中的难点，而导数在不等式的证明中起着关键的作用。不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待,不等式的证明是数学学习的重要内容之一,也是难点之一。其常用的证明方法有: 比较法、综合法、分析法、重要不等法、数学归纳法等等,然而有一些问题用上面的方法来解决是很困难的,我们在学完导数及其应用这一内容以后,可以利用导数的定义、函数的单调性、最值性(极值性)等相关知识解决一些不等式证明的问题。导数也是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工，它包括微分中值定理和导数应用。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。本文针这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。这篇论文是在指导老师的悉心指导和严格要求下完成的。对导数的定义、微分中值定理、函数的单调性、泰勒公式、函数的极值、函数的凹凸性在不等式证明中的应用进行了举例。

一、利用导数的定义证明不等式

定义 设函数f?f?x?在点x0的某领域内有定义,若极限

f?x??f?x0? 存在 limx?x0x?x0则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'?x0? 令 x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，则上式可改写为

f?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?

?x?0?x?x?0?xlim所以，导数是函数增量?y与自变量增量?x之比

?y的极限。这个增量比称为函?x数关于自变量的平均变化率( 又称差商)，而导数f'?x0?则为f在x0处关于x的变化率。

以下是导数的定义的两种等价形式：

1

（1）f'?x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??x??f?x0?

?x（2）f'?x0??lim?x?0例1: 设f?x??r1sinx?r2sin2x???rnsinnx，并且f?x??sinx， 证明：r1?2r2???nrn?1

证明 f?x??r1sinx?r2sin2x??rnsinnx，可得出f?0??0， 因为 f'?x??r1cosx?2r2cos2x???nrncosnx, 则 f'?0??r1?2r2???nrn 又由导数的定义可知

limx?0f?x??f?0?f?x?f?x? ?lim?limx?0x?0x?0xxsinx?1 x?f'?0??limx?0所以 f'?0??1， 即可得 r1?2r2???nrn?1.

1221y?lny，求证: y?1,y2?y2?lny. 232211分析 令h?y??y2?y2?lny，y?(1,??)，因为h?1???0,

326例2、 已知函数f?y??要证当x?1时， h?x??0,即h?x??h?1??0,只需证明h?y?在(1,??)上是增函数。证明 令h?y??22121y?y?lny，则h'?y??2y2?y?， 32y'2y3?y2?1(y?1)(2y2?y?1)因为 当y?1时, h?y????0 ,

yy所以h?y?在(1,??)上是增函数， 就有h?y??h?1??121?0,y3?y2?lny?0， 632 2

21即可得y?1,y2?y2?lny.

32注:证明方法为先找出x0，使得y?f'?x0?恰为结论中不等式的一边；再利用导数的定义并结合已知条件去证明。 二、利用微分中值定理证明不等式

证题思路 将要证的不等式改写成含变量之商不等式，则可尝试利用中值公式

f?b??f?a??f'???

b?af?b??f?a?f?b??f?a?或的

b?ag?b??g?a?f?b??f?a?f'???或者 ?'g?b??g?a?g???并做适当的放缩到待证不等式中 1.使用拉格朗日中值定理证明不等式 定理 若函数满足如下条件: (i)f在闭区间[a,b]上连续； (ii)在开区间(a,b)内可导， 则在(a,b)内至少存在一点?，使得

f'????f?b??f?a?

b?a例3、 证明对一切h??1,h?0成立不等式

h?ln?1?h??h 1?h证明 设f?x??ln?1?x?，则ln?1?h??ln?1?h??ln1?当h?0时，由0???1可推知

1?1??h?1?h，

h，0???1 1??hhh??h 1?h1??hhh??h 1?h1??h当?1?h?0时，由0???1可推得

1?1??h?1?h?0,

从而得到所要证明的结论.

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