软件学院离散数学单元测试题(半群与群答案) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/26 2:58:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

10.交换群一定是循环群。( )

11.设G是循环群,G同构与H,则H也是循环群 ( )。 12.在整环〈A,+,·〉中无零因子条件等价于乘法消去律。( )

13.任意n元置换都可以分解为若干不相交对换的乘积,而且表示式是唯一的。( )

14.任意n元置换都可以分解为若干不相交轮换的乘积。( )

15.在有界分配格中,一个元素若有补元,则补元不一定是唯一的( )。 16.设A为一有限集合,则为有补格。( )。

17.N是自然数集,≤是小于等于关系,则是有补格。( ) 18.如果在一个格中交运算对并运算可分配,则并运算对交运算也一定可分配。反之亦然( )。 四、解答题

1设G??a?是18阶循环群,求出G的所有子群。

?12345??12345?2设?,?是5元置换,且????,????,

2145334512????计算①??;②??1;③将??表示成不交的轮换之积。 3、令G??Z,??是整数加群,求商群Z/4Z。

?12?为模12整数加群,求商群Z12/<3>。 4.设?Z12,??,G2??R,??,其中R*为非零实数的集合,5. G1??Z,+和?分别表示数的加

法和乘法。

*?:Z?R*,?(x)???1x是偶数

??1x是奇数说明?是否是单同态,满同态和同构,并求同态像?(G1)和同态核ker?。

??,G2??A,??,其中+和?分别表示数的加法和乘法。5. G1??R,A?{x|x?C?|x|?1}其中,C为复数集合。

?:Z?A,?(x)?cosx?i?sinx

说明?是否是单同态,满同态和同构,并求同态像?(G1)和同态核ker?。

6.设G?{a,b,c,d,e,f},G上的运算*定义如表所示。

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* e a b c d f e e a b c d f a a b e d f c b b e a f c d c c f d e b a d d c f a e b f f d c b a e (1) 找出所有2个元素的子群; (2) 求?d?的所有右陪集。

7.设G是一个10阶循环群,a是它的一个生成元,指出G的所有生成元,并写出G的2阶和5阶子群。

8.设A?{1,2,3,4,6,812,,24},|为整除关系,则?A,|?是格,其中画出?A,|?的哈斯

图,并给出所有有补元素的补元。

,2,3},则A的幂集P(A)与集合的包含关系?构成格?P(A),??,画出9. 设A?{1?P(A),??的哈斯图,并给出所有元素的补元。

10.设?A,|?是格,其中A?{1,2,510,,,1122,55110},,|为整除关系,画出?A,|?的哈斯图,并给出所有有补元素的补元。

11.设?A,|?是格,其中A?{1,2,3,4,6,9,12,18,36},| 为整除关系,画出?A,|?的哈斯图,并给出所有有补元素的补元。 五、证明题

1.设G1??Q,+?是有理数加群,G2??Q*,??是非零有理数乘法群,证明不存在G2到

G1的同构。

??为实数加群,?R*,??为非零实数集关于普通乘法构成的群,2.设?R,??到?3.令f:R?R*,f(x)?ex,证明:f是?R,同态核kerf。

R*,??的同态映射,并求

4. 设G?{23|m,n?Z},G关于普通的乘法构成群,对任意的m,n,f(2m3n)?2m,试证明:f是G到G的同态映射,并求同态核kerf。

5.

mnSn是A?{1,2,3,...,n}上的所有置换组成的集合,

(1).证明Sn对置换乘法(函数复合)运算构成群;

7

?1?s,t?S,sRt??g?G,s?gtg,证SS(2).G是n的子群,则n上定义关系R,n明R是Sn上的等价关系。

??10??10???10???10??6.设G????01??,??0?1??,??01??,??0?1???,证明G关于矩阵乘法构成群。

??????????7.设G={a + bi|a ,b∈Z},其中i是虚数单位,则是一个群。 8.设G为群,a,b,c?G是有限阶元,证明|abc|=|bca|。

9. 在整数集Z上定义:a*b?a?b?2,?a,b?Z,证明是一个群。 10.设G是群,H≤G,对任意的a∈G,令H1=aHa证明:H1≤G。

11 .设G是群,令C?{a|a?G??x?G(ax?xa)},证明C≤G。 12.设H和K分别为群G的r,s阶子群,若r和s互素,证明H?K?{e}。 13.证明G1为循环群,?是G1到G2的同态,证明?(G1)也是循环群。 14.设?是G1到G2的同态,则ker??G1.

15. 设L是格,试证明:?a,b,c?L,有a?(b?c)?(a?b)?(a?c).

?1={aha?1| h∈H},

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