内容发布更新时间 : 2024/11/16 9:50:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，

R54π

所以S′表＝2πR－2.

27

R令S′表＝0，得R＝3，则当R＝3时，S表最小. 答案 3

12.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式解集为________.

f（x）

e

x<1的

答案 {x|x>0} 13.若函数f(x)＝解析 f′(x)＝

ax－ae

x＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为________.

2xaex－（ax－a）ex－a（x－2）

e

＝e

x(a<0).

当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， ∴当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝2＋1.

e

若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝2＋1>0，

e解之得a>－e，因此－e

14．已知函数y＝x－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________． 解析：设f(x)＝x－3x＋c， 对f(x)求导可得，f′(x)＝3x－3， 令f′(x)＝0，可得x＝±1，

易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，

2

33

22

2

aa

在(－1，1)上单调递减．

若f(1)＝1－3＋c＝0，可知c＝2； 若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2. 答案：－2或2

15．已知函数f(x)＝ax－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________． 3x－13x－13

解析：当x∈(0，1]时不等式ax－3x＋1≥0可化为a≥3，设g(x)＝3，x∈(0，1]，

xx

3

?x－1?6?2?32

3x－（3x－1）·3x??

g′(x)＝＝－. 64

xx

g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：

x g′(x) g(x) ?0，1? ?2???＋ 1 20 极大值4 ?1，1? ?2???－ 因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)． 答案：[4，＋∞)

16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．

2

答案：30 23 000

17．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．

(1)试将y表示为x的函数；

(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．

kakb

解：(1)设点C受A污染源污染程度为2，点C受B污染源污染程度为2，其中k为比例系数，且k>0.

x（18－x）从而点C处受污染程度y＝

kakb

2＋2. x（18－x）

kkb

(2)因为a＝1，所以，y＝2＋2，

x（18－x）2b?2?y′＝k?－3＋3?

?x（18－x）?令y′＝0，得x＝

18

， 31＋b

又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意， 所以，污染源B的污染强度b的值为8.

be

18．设函数f(x)＝aeln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

x

x

x－1

(1)求a，b； (2)证明：f(x)>1.

2x－1.x

(2)证明：由(1)知，f(x)＝eln x＋e，

x2－x

从而f(x)>1等价于xln x>xe－，

e设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x.

?1?所以当x∈?0，?时，g′(x)<0； ?e??1?当x∈?，＋∞?时，g′(x)>0. ?e?

?1??1?故g(x)在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增， ?e??e?

1?1?从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g??＝－.

e?e?

2－x－x

设函数h(x)＝xe－，则h′(x)＝e(1－x)．

e所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.

故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1

从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.

e综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 19．已知函数f(x)＝ln x＋(a＞0)． (1)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围； 21

(2)证明：当a≥，b＞1时，f(ln b)＞.

ebax

11

(2)令h(x)＝xlnx＋a ，则h′(x)＝ln x＋1，当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，所以函数

ee

h(x)在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增．

ee

??

1??

?1?

??

11211

当x＝时，[h(x)]min＝－＋a，于是，当a≥时，h(x)≥－＋a≥，①

eeeee

令φ(x)＝xe，则φ′(x)＝e－xe＝e(1－x)，当0＜x＜1时，φ′(x)＞0；

当x＞1时，φ′(x)＜0，所以函数φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当x＝1时，[φ(x)]max

11

＝，于是，当x＞0时，φ(x)≤，② ee

2－x显然，不等式①、②中的等号不能同时成立，故当x＞0，a≥时，xln x＋a＞xe，

e

－x－x－x－xa11b因为b＞1，所以ln b＞0，所以ln b·ln(ln b)＋a＞ln b·e－ln，所以ln(ln b)＋＞，即f(ln b)＞.

ln bbb20.已知函数f(x)＝ln x－

a（x－1）

(a∈R). x