内容发布更新时间 : 2024/10/26 12:30:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题9 费马点

破解策略

费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．

若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．

1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点 证明：

如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝ ∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP

所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点

2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．

如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点

证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC

将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D

则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小

此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O

如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心

例1 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－6，0），点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（6，43），延长AC至点D使得CD＝AC，过点DE作DE//AB，交BC的延长线于点E，设G为y轴上的一点，点P从直线y＝?3x＋63与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短

解：∵t＝

GMGA2GA?GM ??2vv2v∴当2GA＋GM最小时，时间最短

如图，假设在OM上存在一点G，则BG＝AG ∴MG＋2AG＝MG＋AG＋BG

把△MGB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′G′B，连结GG′，MM′ ∴△GG′B、△MM′B都为等边三角形