内容发布更新时间 : 2024/12/27 19:20:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章 2.2 2.2.1
基础练习
x2y2
1．如果方程2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数a的取值范围是( )
aa＋6A．a>3 C．a>3或a<－2 【答案】D
B．a<－2
D．a>3或－6 ??a2－a－6>0，??a<－2或a>3，2 【解析】由a>a＋6>0得?所以?所以a>3或－6 ?a＋6>0，???a>－6， x2y2 2．(2019年上海模拟)设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B， ab若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( ) x2y2 A．＋＝1 43x22 C．＋y＝1 2【答案】A 【解析】由|BF2|＝|F1F2|＝2，得a＝2,2c＝2，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以x2y2 该椭圆方程为＋＝1. 43 x2y2 3．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的 259面积为( ) A．9 C．10 【答案】A 【解析】结合方程知a＝5，b＝3，∴c＝4,2c＝8,82＝|PF1|2＋|PF2|2.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，1 ∴(|PF1|＋|PF2|)2＝100，则2|PF1|·|PF2|＝36.∴|PF1|·|PF2|＝9. 2 x2y2 4．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B 43两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|等于( ) 10A． 3 B．3 B．12 D．8 x22 B．＋y＝1 3x22 D．＋y＝1 4 8C． 3【答案】C D．2 【解析】依题意得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝|AB|＋(|AF2|8 ＋|BF2|)＝3|AB|＝4×2，|AB|＝.故选C． 3 x2y2 5．(2019年湖南衡阳期末)椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________． m4【答案】3或5 【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1.∴m＝3. 6．(2019年广东佛山校级月考)已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________________． x2y2 【答案】＋＝1 1612 49??a2＋b2＝1， 【解析】设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则?ab ??a2－b2＝4， x2 y2 2??a＝1，x2y2 (舍去)．故椭圆C的标准方程为＋＝1. ?16122＝－3b?? 2??a＝16， 解得?或 2??b＝12 7．已知以原点为中心，焦点在坐标轴上的椭圆经过点?标准方程． x2y2 解：设椭圆的标准方程为＋＝1(m>0，n>0)． mn∵点? 6??22，1?在椭圆上， ，3和点?3??3? 6??22，1?，求椭圆的 ，3和点?3??3? ??m＋n＝1， ∴??22? ?3?1??m＋n＝1. 2 2 ?6?2 ?3??3?2 ??m＝1，y2y22 2∴?∴椭圆的方程为x＋＝1，即＋x＝1. 99 ??n＝9. x2y2 8．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P(3,4)，若PF1⊥PF2，求椭圆的方程． ab916 解：椭圆经过点P(3,4)，则2＋2＝1(a>b>0)．① ab →→ 设F1(－c,0)，F2(c,0)，则PF1＝(－c－3，－4)，PF2＝(c－3，－4)． →→→→由PF1⊥PF2，即PF1·PF2＝0，可得c2＝25.② 又a2＝b2＋c2，则a2＝b2＋25. 由①②，可得a2＝45，b2＝20. x2y2 故所求椭圆方程为＋＝1. 4520 能力提升 9．下列说法中正确的是( ) A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】C 【解析】选项A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以选项A错误．选项B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以选项B错误．选项C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋ ?5＋4?2＋32 ?5－4?2＋32＝410>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以选项C正确．选项D中，轨迹应是 线段F1F2的垂直平分线，所以选项D错误．故选C． 10．对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】B m>0，?? 【解析】方程mx＋ny＝1表示的曲线是椭圆，m，n的取值应满足?n>0， ??m≠n， 2 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 所以由 mn>0得不到方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，因而是不充分条件；反过来，根据该曲线