内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:25:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数列

一、数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫

第2项，……，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an； 数列的一般形式：a1，a2，a3，……，an，……，简记作 ?an?。

例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;

(2)2010年各省参加高考的考生人数。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个

数列的通项公式。

例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…

②：1，1，1，1，12345…

数列①的通项公式是an= n（n?7，n?N?）， 数列②的通项公式是a1n= n（n?N?）。 说明：

①?an?表示数列，an表示数列中的第n项，an= f?n?表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，a??1,n?2k?1n= (?1)n=??1,n?2k(k?Z)；

? ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上

是定义域为正整数集N?（或它的有限子集）的函数f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值

f(1),f(2),f(3),……，f(n)，……．通常用an来代替f?n?，其图象是一群孤立点。

例：画出数列an?2n?1的图像.

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

?S(n?1)（5）数列{1an}的前n项和Sn与通项an的关系：an???Sn?S

n?1(n≥2)例：已知数列{a2n}的前n项和sn?2n?3，求数列{an}的通项公式

二、等差数列

题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an?an?1?d(n?2)或

an?1?an?d(n?1)。

例：等差数列an?2n?1，an?an?1? 题型二、等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d?0为递增数列，d?0为常数列，d?0 为递减数列。

例：1.已知等差数列?an?中，a7?a9?16，a4?1，则a12等于（ ） A．15 B．30 C．31 D．64

2.{an}是首项a1?1，公差d?3的等差数列，如果an?2005，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670

3.等差数列an?2n?1,bn??2n?1，则an为 bn为 （填“递增数列”或“递减数列”）

题型三、等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A?a?b2 a，A，b成等差数列?A?a?b2 即：2an?1?an?an?2 （2an?an?m?an?m） 例：1．（06全国I）设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，a1a2a3?80，则a11?a12?a13? （ ）

A．120 B．105 C．90 D．75

2.设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A．1 B.2 C.4 D.8

题型四、等差数列的性质：

（1）在等差数列?an?中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列?an?中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列?an?中，对任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?an?amn?m(m?n)；

（4）在等差数列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，则am?an?ap?aq； 题型五、等差数列的前n和的求和公式：Sn(a1?an)n(n?1)1n?2?na1?2d?n22?（a?d12）n。(S2n?An?Bn(A,B为常数)??an?是等差数列 )

递推公式：S(a1?an)n(am?an?(m?1))n?2?n2 例：1.如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7? （A）14 （B）21 （C）28 （D）35

2.（2009湖南卷文）设Sn是等差数列?an?的前n项和，已知a2?3，a6?11，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63

3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若S9?72,则a2?a4?a9= 4.（2010重庆文）（2）在等差数列?an?中，a1?a9?10，则a5的值为（ ）

（A）5 （B）6 （C）8 （D）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 6.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? 7.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列?aS9n?的前n项和为Sn，若a5?5a3则S? 58．（98全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100. （Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；

9.已知?an?数列是等差数列，a10?10，其前10项的和S10?70，则其公差d等于( )

A．?23B．?13 C.123 D.3

10.（2009陕西卷文）设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则an?

11．（00全国）设｛a｝的前n项和，已知SSn｝为等差数列，Sn为数列｛an7＝7，S15＝75，Tn为数列｛

nn｝的前n项和，求Tn。

12.等差数列?an?的前n项和记为Sn，已知a10?30，a20?50 ①求通项an；②若Sn=242，求n

13.在等差数列{an}中，（1）已知S8?48,S12?168,求a1和d；（2）已知a6?10,S5?5,求a8和S8；(3)已知

a3?a15?40,求S17

题型六.对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶?S奇?nd； ② S奇aS?n；

偶an?1

（2）若项数为奇数，设共有2n?1项，则①S奇?S偶?aS奇nn?a中；②S?n?1。 偶

题型七.对与一个等差数列，Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍成等差数列。

例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）

A.130 B.170 C.210 D.260

2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 。

3．已知等差数列?an?的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列?an?的前n项和，S4?14，S10?S7?30，则S9= 5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若

S3S＝13，则S6S＝ 612A．

3 B．1 C．1 D．

110389 题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：

an?1?an?d(常数）（n?N?）??an?是等差数列

②中项法：

2an?1?an?an?2（n?N?)??an?是等差数列

③通项公式法：

an?kn?b(k,b为常数)??an?是等差数列

④前n项和公式法：

S2n?An?Bn(A,B为常数)??an?是等差数列

例：1.已知数列{an}满足an?an?1?2，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

2.已知数列{an}的通项为an?2n?5，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

3.已知一个数列{a}的前n项和s2nn?2n?4，则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

4.已知一个数列{a2n}的前n项和sn?2n，则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.已知一个数列{an}满足an?2?2an?1?an?0，则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

6.数列?a?2，且a?n?满足a1=8，a4n?2?2an?1?an?0 （n?N）

①求数列?an?的通项公式；

7．（01天津理，2）设Sa2

n是数列{n}的前n项和，且Sn=n，则{an}是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 题型九.数列最值

（1）a1?0，d?0时，Sn有最大值；a1?0，d?0时，Sn有最小值；

（2）S最值的求法：①若已知S2nn，Sn的最值可求二次函数Sn?an?bn的最值；

可用二次函数最值的求法（n?N?）；②或者求出?an?中的正、负分界项，即：

若已知a?an?0?an?0n，则Sn最值时n的值（n?N?）可如下确定??a或?。

n?1?0?an?1?0 例：1．等差数列?an?中，a1?0，S9?S12，则前 项的和最大。

2．设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知 a3?12，S12?0，S13?0 ①求出公差d的范围，

②指出S1，S2，?，S12中哪一个值最大，并说明理由。

3．（02上海）设｛a*

n｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（ A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与

S7均为Sn的最大值

4．已知数列?an?98n?的通项n?99（n?N?），则数列?an?的前30项中最大项和最小项分别是

5.已知{an}是等差数列，其中a1?31，公差d??8。 （1）数列{an}从哪一项开始小于0？

（2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．

6.已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a1?0，公差d?0，若S10?0,求数列{an}前n项和的最大值．7.在等差数列{an}中，a1?25，S17?S9，求Sn的最大值．

题型十.利用a?S1(n?1)n??求通项．?Sn?Sn?1(n?2)

1.数列{a2n}的前n项和Sn?n?1．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{an}是等差数列吗？（3）你能写出数列{an}的通项公式吗？

2．已知数列?aS2n?的前n项和n?n?4n?1，则

3.设数列{a2

n}的前n项和为Sn=2n，求数列{an}的通项公式；

4.已知数列?a1n?中，a1?3，前n和Sn?2(n?1)(an?1)?1 ①求证：数列?an?是等差数列 ②求数列?an?的通项公式

5.（2010安徽文）设数列{a项和S2n}的前nn?n，则a8的值为（ ）

（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64

等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这 个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，即：an?1：an?q(q?0)。

一、递推关系与通项公式

递推关系：an?1?anq通项公式：a?1n?a1?qn 推广：amn?am?qn?1． 在等比数列?an?中,a1?4,q?2，则an? 2． 在等比数列?an?中,a7?12,q?32,则a19?_____.

3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）8 4.在等比数列?an?中，a2??2，a5?54，则a8=

5.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1?3，前三项和为21，则a3?a4?a5?（ ） A 33 B 72 C 84 D 189

二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b??ac，注：b2?ac是成等比数列的必要而不充分条件.

）