2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:48:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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② 当∠ QPA= 90°时,AQ= 2 AP.解方程 2 t = 2 (3 - t ) ,得 t =1.5 (如图 3).

图2

图3

( 3)如图 4,因为 PE// QF,当 EF// PQ时,四边形 EPQF是平行四边形. 所以 EP= FQ.所以 yE- yP= yF-yQ.

因为 xP=t ,xQ= 3- t ,所以 yE= 3- t ,yQ= t ,yF=- (3 -t ) + 2(3 -t ) + 3=- t + 4t .

2 2

因为 yE-yP= yF- yQ,解方程 3- t = ( - t 2+ 4t ) - t ,得 t = 1,或 t = 3(舍去).所以点

F 的坐标为 (2, 3) .

2

图 4

2

图 5

( 4)由 y=- x +2x+ 3=- ( x- 1) + 4,得 M(1, 4) .

由 A(3, 0) 、 B(0, 3) ,可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等, 由 (0, 3) 、 (1, 4) ,可知 、 两点间的水平距离、竖直距离相等,

AB= 3 2 .

= .

B

M

B M

BM 2

所以∠ MBQ=∠ BOP= 90°.因此△MBQ与△ BOP相似存在两种可能: ①当

BM

BQ

OB 时, OP

3 2

2

3

2t t

.解得 t

9 (如图 5).

4

②当

BM

BQ

OP 时, OB

2

t

.整理,得 t 2- 3t + 3=0.此方程无实根.

3 2

2t 3

考点伸展

第( 3)题也可以用坐标平移的方法:由(

P t

,0),(

E t

, 3- ) ,Q(3- , ),按照 →

t

t

t

P E

方向,将点 Q向上平移,得 F(3 - t , 3) .再将 F(3 -t , 3) 代入 y=- x2+ 2x+3,得 t =1,或 t

=3.

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§1. 2 因动点产生的等腰三角形问题

课前导学

我们先回顾两个画图问题:

1.已知线段 AB= 5 厘米,以线段 AB为腰的等腰三角形 ABC有多少个?顶点 C的轨迹是

什么?

2.已知线段 AB= 6 厘米,以线段 AB为底边的等腰三角形 ABC有多少个?顶点 C的轨迹

是什么?

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点

已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外.

C.

在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类. 如果△ ABC是等腰三角形,那么存在

① AB= AC, ② BA= BC, ③ CA= CB三种情况.

解等腰三角形的存在性问题, 有几何法和代数法, 把几何法和代数法相结合,

可以使得

解题又好又快.

几何法一般分三步:分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢?

如果△ ABC的∠ A(的余弦值) 是确定的, 夹∠ A 的两边 AB和 AC可以用含 x 的式子表示

出来,那么就用几何法.

① 如图 1,如果 AB= AC,直接列方程; ② 如图 2,如果 BA= BC,那么 AC

1

AB cos A ;

③如图 3,如果 CA=CB,那么

1

2

AB AC cos A .

2

代数法一般也分三步:罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.

如果三角形的三个角都是不确定的, 而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来, 那么根据两点间的距离公式,三边长(的平方)就可以罗列出来.

图1

图2 图3

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例 9

2014

1

年长沙市中考第 26 题

如图 1,抛物线 y= ax2+bx+ c( a、b、c 是常数, a≠ 0)的对称轴为 y 轴,且经过 (0,0)

和 ( a , ) 两点,点 P在该抛物线上运动,以点

16

( 1)求 a、 b、c 的值;

P 为圆心的⊙ P 总经过定点 A(0, 2) .

( 2)求证:在点 P 运动的过程中,⊙ P始终与 x 轴相交;

( 3)设⊙ P 与 x 轴相交于 M( x1, 0) 、 N( x2, 0) 两点,当△ AMN为等腰三角形时,求圆心

P的纵坐标.

图 1

动感体验

请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”,拖动圆心 P 在抛物线上运动, 可以体验到,圆与 x 轴总是相交的,等腰三角形 AMN存在五种情况.

思路点拨

1.不算不知道,一算真奇妙,原来⊙ 2.等腰三角形存在五种情况,点

=NM时,点 P的纵坐标是相等的.

P在 x 轴上截得的弦长 MN= 4 是定值. P

的纵坐标有三个值,根据对称性,

AMN MA MN NA

= 和

图文解析

( 1)已知抛物线的顶点为 (0,0) ,所以 y=ax2.所以 b=0, c= 0. 将 ( a ,

1

) 代入 y=ax,得

2

1

a .解得 a

2

1 (舍去了负值) .

16

16

( 2)抛物线的解析式为 y

4

x2 ,设点 P的坐标为 1 ( x, 4

1 x2 ) .

4

已知 A(0, 2) ,所以 PA

x 2

( 1 x2

4

2)

2

而圆心 P 到 x 轴的距离为

1

1 x4 4 > x2 . 16 4

1

x2 ,所以半径 PA>圆心 P 到 x 轴的距离.

4

所以在点 P 运动的过程中,⊙ P始终与 x 轴相交.

H,那么 PH垂直平分 ( 3)如图 2,设 MN的中点为 MN. 在 △ 中, 21 2 1 4 2 2

4,PH Rt PMH PM PA x ( x)

16 4

所以 MH= 2.因此 MN= 4,为定值.

MH= . 1 4

2

x ,所以 4 16

等腰△ AMN存在三种情况:

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① 如图 3,当

= 时,点 为原点 重合,此时点 的纵坐标为 0.

AM AN P O P

图 2

② 如图 4,当 MA= MN时,在 Rt △AOM中, OA= 2, AM= 4,所以

图 3

OM= 2 3 .

此时 x= OH= 2

3 2 .所以点 P的纵坐标为 x2

4 时,根据对称性,点

1

1 (2 3 2)2

4

( 3 1)2 423.

如图 5,当

= 的纵坐标为也为 4 2 3 .

NA NM P

图 4

图 5

③ 如图 6,当 NA= NM= 4 时,在 Rt△ AON中, OA= 2,AN= 4,所以 ON=2 3 . 此时 x= OH= 2 3 2 .所以点 P 的纵坐标为

1

x2

4

1 (2 3 2)2 ( 4

3 1)2 4 23.

如图 7,当 MN=MA= 4 时,根据对称性,点 P的纵坐标也为 4 2 3 .

图 6

图 7

考点伸展

如果点 P 在抛物线 y

2

1 x 上运动, 以点 P为圆心的⊙ P 总经过定点 B(0, 1) ,那么在点 4

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