内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:26:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
课题:等比数列的前n项和
教学目标:(1)知识目标:理解等比数列的前n项和公式的推导方法;掌握等比数列的前n项和公式并能
运用公式解决一些简单问题;
(2)能力目标:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透
方程思想、分类讨论思想;
(3)情感目标:培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学的思维品质; 教学重点:(1)等比数列的前n项和公式;
(2)等比数列的前n项和公式的应用; 教学难点:等比数列的前n项和公式的推导; 教学方法:问题探索法及启发式讲授法 教 具:多媒体 教学过程: 一、复习提问
回顾等比数列定义,通项公式。
an(1)等比数列定义:a?qn?1(n?2,q?0)
(2)等比数列通项公式:
an?a?11qn(a1,q?0)
(3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。 二、问题引入:
阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。
问题:如何计算 S 64 ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? L ? 263 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨:
问题:如何求等比数列?an?的前n项和公式
Sn?a1?a2?a3?L?an
?a21?a1q?a1q?L?an?2?11q?a1qn
回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。
等差数列a1,a2?a3,?an?它的前n项和是Sn?a1?a2?a3??an
1
根据等差数列的定义an?1?an?d
Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?LL??a1?(n-1)d? (1)
Sn?an?(an?d)?(an?2d)?LL??an-(n-1)d? (2)
(1)+(2)得:2Sn?n(a1?an) Sn(a1?an)n?2 探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导?
Sn?a1?a2?a3?L?an
?a1?a1q?a1q2?L?an?21q?a?11qn
Snn?an?anq?anaanq2?L?qn?2?qn?1 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。
探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导?
根据等比数列的定义:
an?1a?(qn?N?) n 变形:anq?an?1
具体:a1q?a2 a2q?a3 a3q?a4 …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:
由于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。
由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
Sn?21n?a1?a1q?a1q2?L?a1q?a1qn? (1)
qSn?a1q?a21q?a1q3?L?an1qn?1?a1q (2)
由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
2
?(1)?(2)得:(1?q)Sn?a1?a1qn
当q=1时,Sn?na1
a1(1?qn)当q?1时,Sn?
1?q学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。
由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式:
当q?1时, Sa1?anqn?1?q
四.知识整合:
1.等比数列的前n项和公式:
当q=1时,Sn?na1
当q?1时,Sa1(1?qn)a1?anqn?1?q ?1?q
2.公式特征:
⑴等比数列求和时,应考虑q?1 与q?1 两种情况。
⑵当q?1时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量,四个量中“知三求一”。⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量,a1,q,n,an,Sn,
五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
五、例题精讲:
例1.运用公式解决国王赏麦故事中的难题。
变式练习:⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.
⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.
例2.画一个边长为2cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,
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