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4.4 圆周运动（二）

审核人： 上课时间： 编号： 23 考纲要求与解读：

1、 掌握竖直面圆周运动处理问题的方法。 2、 熟练掌握两种模型的处理 学生笔记 【基础知识疏理】

一．常见竖直平面内的圆周运动最高点临界条件分析：

竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题．

1．轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：

（1）临界条件：小球达最高点时绳子的拉力或单轨的弹力刚好等于零，小球的重力提供向心力．

即：mg＝mv临2/r 临界速度v临＝(gr)1/2 （2）能过最高点的条件：v＞v临（此时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）． （3）不能过最高点的条件：v＜v临（实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）． 2．轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：

（1）临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能达最高点的临界速度v临＝0．

（2）轻杆约束小球过最高点时，杆对小球的弹力：

①当v＝0时，杆对小球有竖直向上的支持力，N＝mg． ②当0＜v＜(gr)1/2时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取植范围是mg＞N＞0．

③当v＝(gr)1/2时，N＝0． ④当v＞(gr)1/2时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大． （3）图（b）所示的小球过最高点时，双轨对小球的弹力情况： ①当v＝0时，内轨对小球有竖直向上的支持力，N＝mg．

②当0＜v＜(gr)1/2时，内轨对小球有竖直向上的支持力N，大小随速度的增大而减小，其取植范围是mg＞N＞0．

③当v＝(gr)1/2时，N＝0．

④当v＞(gr)1/2时，外轨对小球有竖直向下的压力，其大小随速度的增大而增大．

二．竖直平面内的圆周运动任意动力学问题处理方法：正交分解法．

将牛顿第二定律F＝ma用于变速圆周运动，F是物体所受的外力，不一定是向心力，a是物体运动的加速度，不一定是向心加速度．采用正交分解法，沿法向（正方向沿着半径指向圆心），切向分解．法向合力为向心力，其作用是改变速度的方向，法向加速度即为向心加速度an，其大小反映速度方向变化的快慢．切向合力使物体产生切向加速度aτ，其作用是改变速度的大小． 【典型例题】

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1、绳（单轨，无支撑）

例1：如图所示，小球以初速度为v0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h的斜面顶部。右图中A是内轨半径大于h的光滑轨道、B是内轨半径小于h的光滑轨道、C是内轨半径等于h光滑轨道、D是长为学生笔记 1h的轻棒，其下端固定一2个可随棒绕O点向上转动的小球。小球在底端时的初速度都为v0，则小球在以上四种情况中能到达高度h的有（ ） O D 变式训练1、如图所示，长为L的细绳上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上，在细线的下端吊一个质量为m的铁球（可视作质点），球离地的高度h=L，当绳受到大小为3mg的拉力时就会断裂．现让环与球一起以v?2gL的速度向右运动，在A处环被挡住而立即停止，A离右墙的水平距离也为L．不计空气阻力，已知当地的重力加速度为g．试求： （1）在环被挡住而立即停止时绳对小球的拉力大小； A （2）在以后的运动过程中，球的第一次碰撞点离墙角B点L L 的距离是多少？ h B 变式训练2、光滑的水平轨道AB，与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，B为最低点，D为最高点。一质量为m的小球以初速度v0沿AB运动，恰能通过最高点，则 （ ） A．R越大，v0越大 D R B．R越大，小球经过B点后的瞬间对轨道的压力越大 C C．m越大，v0越大 v0 B A D．m与R同时增大，初动能Ek0增大 2、杆（双轨，有支撑） 例2轻杆OA长0.5m，在A端固定一小球，小球质量m为0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为v＝0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力．（g取10m/s2） - 2 -

例3、（东台市2008届第一次调研）一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示．

（1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？B （2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？

（3）若m1=m2=m ，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下．

A

B 变式训练3、如图所示，两个3/4圆弧轨道固A 定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属

hB 凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为hA O O R R 光滑轨道。在两轨道右侧的正上方分别将金

属小球A和B由静止释放，小球距离地面的

高度分别用hA和hB表示，对于下述说法，正确的是（ ） A．若hA=hB≥2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点

B．若hA=hB=3R/2，由于机械能守恒，两小球在轨道上升的最大高度均为3R/2 C．适当调整hA和hB，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处 D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球的最小高度为5R/2，B小球在hB>2R的任何高度均可 3、外轨（单轨，有支撑）

例4在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？

变式训练4如图所示，小物块位于半径为R的半球形物体顶

学生笔记

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端，若给小物块一水平速度vo?2gR，则物块 （ ）

学生笔记

A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为2R

C．落地速度大小为2gR D．落地时速度方向与地面成45°角

4、竖直面圆周运动的推广

例5如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心0.1m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为0.8 ，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同。若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为( )

A.8rad/s B.2rad/s C.124rad/s D.

60rad/s

例6半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示，顶部有一小物块．若使小物块无速度向右滑下，则物块是否能沿着球面一直滑到M点？如若不能，物块在何处与半圆球分离．

例7如图所示为电动打夯机的示意图，在电动机的转动轴O上装一个偏心轮，偏心轮的质量为m，其重心离轴心的距离为r，除偏心轮之外，整个装置其余部分的质量为 M 。当电动机匀速转动时，打夯机的底座在地面上跳动而将地面打实夯紧。分析并回答：

( 1 ）为了使底座刚好跳离地面，偏心轮的最小角速度，应是多少？

( 2 ）如果偏心轮始终以这个角速度ω0转动，底座对地面压力的最大值为多少？

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