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第二章 质点运动学

力学（第二版）漆安慎习题解答

第二章 质点运动学

一、基本知识小结

????dr1、基本概念 r?r(t)v?dt???dvd2r???a??2r(t)?v(t)?a(t)

dtdt（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：

????t?t0,r?r0,v?v0）

???,r?x2?y2?z2,r??y?2、直角坐标系 r?xi与x,y,z轴夹角的余弦分别为 j?zkx/r,y/r,z/r.

???,v?v2?v2?v2,v??vy?v?vxij?vzk与x,y,z轴夹角的余弦分别为 xyz vx/v,vy/v,vz/v. ???,a?a2?a2?a2,a??ay?a?axij?azk与x,y,z轴夹角的余弦分别为 xyz ax/a,ay/a,az/a.

dxdydz,vy?,vz?dtdtdt

dvyd2ydvxd2xdvzd2zax??2,ay??2,az??2dtdtdtdtdtdt(x,y,z)?(vx,vy,vz)?(ax,ay,az) vx? y y' V

o x o' x' z z'

ds????,v??,v?|v?| 3、自然坐标系 r?r(s);v?v??dtdv?d2s?v222??ann?,a?a??an,a??a?a???2,an? s(t)?v?(t)?a?(t)

dt?dt???,v?v2?v2 ?,v?vrr??v??4、极坐标系 r?rrr?vr?drd? ,v??rdtdt

5、相对运动 对于两个相对平动的参考系 ???r?r'?r0,t?t' （时空变换） ???v?v'?v0 （速度变换） ???a?a'?a0 （加速度变换）

若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： x'?x?Vt,y'?y,z'?z,t'?tvx'?vx?V,vy'?vy,vz'?vz

ax'?ax,ay'?ay,az'?az二、思考题解答

2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？

解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。

2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？

解答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。

2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？

解答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t时刻的瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度

?rdr??v?lim??r/?t，当△t→0时的极限，即?t?0?tdt。很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。

2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？

??解答：

ax?lim?t?0?vxdvx?,就是说vx?tdt加速度与速度同号时，

?0,ax?0或vx?0,ax?0,以vx?0,ax?0为例，

速度为正表示速度的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，t??t时刻的

速度大于t时刻的速度，质点作加速运动。同理可说明

vx?0,ax?0,质点作加速运动。

质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。例如初速度为v0x，加

12tv?v?(6?t)dt?v?6t?t?x0x00速度为ax?6?t，速度为2，t?6时，ax?0,vx?0,速度逐渐增加。

2.5设质点直线运动时瞬时加速度ax?常量，试证明在任意相等的时间间隔内的平均加速度相等。

解答：平均加速度得，

ax?ax?vx2?vx1dvvtax?x,dvx?axdt,?vdvx??taxdt,t2?t1由瞬时加速度 dtx22x11vx2?vx1t2?t1，ax?常量，即

ax?vx2?vx1t2?t1为常量。