(书后作业)集合论与图论 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:54:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

17.设X=(a,b,c,d,e),R={(a,b),(b,c),(c,d),(d,e)}试求R?和R?。

18.设R,S为X上的二元关系,试证: (1)(RS)??R?

(2)(RS)??R?S?;

S?。

P113习题

25.设X?{1,2,3},Y?{1,2},S?{f|f:X?Y}。?是S上的二元关系:

?f,g?S,f?g?Im(f)?Im(g)。

证明:(1)?是S上的等价关系;(2)求等价类的集合。

26. 设X?{1,2,3},Y?{1,2},S?{f|f:X?Y}。?是S上的二元关系:

?f,g?S,f?g?f(1)?f(2)?f(3)?g(1)?g(2)?g(3)。

证明:(1)?是S上的等价关系;(2)求等价类数。

16

27. 设X?{1,2,3},Y?{1,2},S?{f|f:X?Y}。?是S上的二元关系:

?f,g?S,f?g?{f?1(y)|y?Y}?{g?1(y)|y?Y}。

证明:(1)?是S上的等价关系;(2)求等价类。

?1228.由置换????36354568127?8?确定了X?{1,2,7?4,8}上的一个关系

?:i,j?X,i?当且仅当ji与j在?的循环分解式中的同一循环置换中,证明:?是X上的等价关系,求X/?。

29.给出X={1,2,3,4}上两个等价关系R与S,使得RS不是等价关系。

17

R是等价关系?若(a,b)?R且(a,c)?R,30.设R是X上的一个自反关系,证明:

则(b,c)?R。

31.写出整数Z上的模10的同余关系的各等价类。

35.设X是一个集合,X?n,试求:

(1)X上自反二元关系的个数;(2)X上反自反二元关系的个数; (3)X上对称二元关系的个数;(4)X上自反或对称关系的个数。 答案:

P125习题

36.设[a,b]是一个有限区间。令S是区间[a,b]上的有限划分的集合,[a,b]的一个划分?是形如a?x1?x2?R如下:

?xn?b,n?N的点的集合。在S上定义二元关系

??1,?2?S,?1R?2??2的每个分点也是?1的分点。

证明:R是S上的偏序关系(注意,这里的划分与等价关系中的划分不同)。

18

37.设(S,?1),(T,?2)是偏序集。在S?T上定义二元关系T,?3如下:

?(s,t),(s?,t?)?S?T,(s,t)?3(s?,t?)?(s?1s?,t?2t?)。 证明:?3是S?T上的偏序关系;

38.存在一个偏序关系?,使得(X,?)中有唯一的极大元素,但没有最大元素?若有请给出一个具体例子;若没有,请证明之。

39.令S={1,2,…,12},画出偏序集(S,|)的Hass图,其中“|”是整除关系,它有几个极大(小)元素?列出这些极大(小)元素。

40.设R是X的自反且传递的二元关系,则 (1)给出R的一个实例;

(2)在X上定义二元关系~是:x~y?xRy,yRx。证明:~是X上的等价关系; (3)在商集X~上定义二元关系?是:[a]?[b]?aRb。证明:?是X~上的偏序关系。

19

41.设R是X上的偏序关系,证明:R是X上的全序关系?X?X?R

R?1。

第四章 无穷集合及其基数习题

P125习题 1. 设A为由序列

a1,a2,,an,

的所有项组成的集合,则A是否是可数的?为什么?

2.证明:直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。

3.证明:单调函数的不连续点的集合至多可数。

4.任一可数集A的所有有限子集构成的集族是可数集合。

20