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第十一讲 简单的幻方及其他数阵图

有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”.

洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方.

一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶.

杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释.

九子排列 上、下对易 左右相更 四维挺出

怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数.

下面我们就来介绍一些简单的幻方.

例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上

三个数字的和都相等.

分析 为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示. 解答这个题目，可以分三步解决：

①先求出每行、每列三个数的和是多少？ ②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？ ③最后试填其他方格里的数. ∵A+B+C+D+E+F+G+H+I =1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45.

∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15. ∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.

∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E =（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F） =15X4. 45+3E=60 3E=15 E=5.

这样，正中央格中的数一定是5.

由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.

因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.） 因此，B、D、F、H为奇数.

我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.

此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定. 因此，如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.

解：按照上面的分析，我们可以得到两个解（还有另外6个可以由这两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成）.

例2 在右图中的A、B、C、D处填上适当的数，使右图成为一个三阶幻方.

分析与解答

①从1行和3列得： A+12+D=D+20+11 A+12=20+11 A=19.

②观察对角线上的三个数的总和，实际上它即为每行、每列的三个数的和.对角线上的三个数的和： A+15+11=19+15+11=45. ③B=45-（16+19）=10. ④D=45-（20+11）=14. ⑤C=45-（16+11）=18.

∴ A=19、B=10、C=18、D=14.

例3 将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等.

分析 已知题目中只给了3个数，22、30、38，而每个数都有3个.很显然，横行、竖行、对角线上的三个数的和是：22+30+38=90. 以A、B、C记这三个数.

如果使得每行、每列（先不要求对角线）都各有一个A、B、C（容易知道，要满足题目要求，必须做到这一点），那么各行、各列的和都为A+B+C=90. 而这只有如下图所示的两种类型的排列方式.

其中第一图中由于A+A+A=90，因此必须A=30；第二图中C+C+C=90，所以C=30.其余各行、各列以及另一对角线上的三数之和都为A+B+C=90.

在第一图中B，C可在22、38中任取；第二图中A、B可在22、38中任取.

因此共有4种不同的重新排列法.

解：由分析可知，右图所示为4种不同的重新排列方法中的一种.

例4 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位

数是第一行组成的三位数的3倍. 分析 这一例题比前三个例题要复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A至I这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应

个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然B≠8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H≠8（否则，B≤8/3，只有B=1.而当B=1时，H至多为5）.因此E=8，这样，B＝9，H=7.最后，由于A＜D＜G必有A=1，D=3，G=5.由于192×2=384，192×3=576，所以所填的数满足题目要求. 又如，C=4，则F=8，1=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A≠6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B、E、H是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H，只能B=1，E=5，H=7或