内容发布更新时间 : 2024/5/4 1:42:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第六章 一元非线性方程的解法习题课

一、教学目标及基本要求

通过对本节课的学习，使学生掌握方程求根的数值解法。

二、教学内容及学时分配

本章主要介绍方程求根的迭代法。

三、教学重点难点

1．教学重点：各种方法串讲一遍，并举例说明用法。 2. 教学难点：非线性方程迭代法。

四、教学中应注意的问题

多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解迭代收敛性。

五、正文

若?(x)是非线性函数，则?(x)=0称为一元非线性方程 若?(x)是多项式函数，则?(x)=0称为代数方程 若?(x)是含超越函数，则?(x)=0称为超越方程

若?(x*)=0，则称x*为方程?(x)=0的根，或称为函数?(x)的零点。

若?(x)=(x-x*)kg(x), g(x*)?0，则称x*为方程?(x)=0的k重根，或称为函数?(x)的k重零点。 x*为函数?(x)的k重零点 ? ?(x*)=??(x*)=…=?(k-1)(x*)=0, ?(k)(x*)?0

1、二分法

二分法或称对分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。

问题：设函数?(x)在[a, b]上连续，且?(a) ?(b)<0，则?(x)=0在[a, b]内至少有一零点，[a, b]称有根区间，若?(x)=0在[a, b]内有唯一根x*，求满足精度?要求的近似根.。

二分法的基本思想：-----计算中通过对分区间、缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。

二分法的计算过程如下：(结合图, 教学) (1) 把[a,b]二等分，分点x0=(a+b)/2,

1

若?(x0)=0, 则实根x*=x0，计算结束，否则

若?(x0) ?(a)<0, 则x*?(a,x0), 取a1=a,b1=x0, 否则x*?(x0,b), 取a1=x0,b1=b, 得有根区[a1,b1], 其长度是原[a,b]的一半。

(2) 重复上述步骤，把[a1,b1]二等分，分点x1=(a1+b1)/2, 若?(x1)?0, 又的得有根区[a2,b2], 其长度是[a1,b1]的一半。

(3) 如此反复下去，若?(xk)?0, 则可的一列有根区间： [a,b]?[a1,b1] ? [a1,b1] ?…? [ak,bk] ?…

其中[ak,bk]的长度是[ak-1,bk-1]的一半, lin(bk-ak)=0, limxk=x*

实际计算时，可按精度?要求结束二分法过程： (1) 当?bk+1-ak+1?

(2) 要?x*-xk?

b?aln(b?a)?ln? 即 k+1> ??,ln22k?1∴ 作k+1次二分法，计算结束。

例 用二分法求解?(x)=x4-x-10.27=0在区间（1, 2）上的根, 精确到10-2。 解：(1) ?(1)= -10, ?(2)=4 ，有根区间[1, 2]

(2) x0=(1+2)/2=1.5, ?(1.5)= -6.707, 有根区间[1.5, 2]

(3) x2=(1.5+2)/2=1.75, ?(1.75)= -2.641, 有根区间[1.75, 2]

… 结果见表2.1

b7-a7≈0.0078<10-2, ?x*-x7?

例 证明 1-x-sinx=0在[0,1]内有唯一实根，使用二分法求误差不大于0.5?10-4的根要二分多少次？

解：(1) ?(x)= 1-x-sinx, ?(0)=1>0, ?(1)= -sin1<0, ∴?(x)在[0,1]内有实根; 又 在(0,1)内 ??(x)= -1-conx<0, ?(x)单调减少，∴?(x) 在[0,1]内有唯一实根，

ln(b?a)?ln?ln(1?0)?ln(0.5?10?4)（2）?=0.5?10，k+1>=≥14.2788

ln2ln2-4

∴ 要二分15次

计算机上机时二分法的计算步骤：------（课外阅读） 二分法的特点：------（课外阅读）

§6.2 迭代法（逐次逼近法）

1. 迭代法及其几何意义

2

问题：若?(x)=0在[a, b]内有一根x*，求?(x)=0满足精度? 要求的近似根.。

迭代法思想方法：-----

(1) 将?(x)=0转换成等价形式：x=g(x), (g(x)称迭代函数) (2) 给定初值x0，构造迭代序列: xx+1=g(xx) , k=0.1.2. …

(3) limx k+1=limg(xk)=a时迭代法收敛(否则发散), 则a就是方程?(x)=0的根。 k?? k??

在计算中, 当?xk+1-xk?

几何意义------(1) 将求?(x)=0的根转换成求：y=x, y=g(x) 的交点P*(x, g(x)) (2) 构造点列：{Pk (xk,g(xk))} 逼近交点P*(x, g(x)) (图2-2)

例 求?(x)=x5-2x-1=0在区间（1, 2）内的根, 用6位有效数字计算。

解： ?(1)= -2, ?(2)=27 ，又在(1,2)内 ??(x)=5x4-2>0, ∴?(x) 在(1,2)内有唯一实根，

(1) 将x5-2x-1=0转换成 x=g(x)=52x?1, 得迭代公式：xk+1=52xk?1, k=0.1.2. …

取初值x0=1.5, 计算得：x1=1.31951, …, x5=x6=1.29065 ∴ x*≈1.29065 是所求的根。

(2) 若将x5-2x-1=0转换成 x=0.5(x5-1) 得迭代公式：xk+1=0.5(x5k-1), k=0.1.2. …

取初值x0=1.5, 计算 x1=3.29688, …, 迭代法发散.

对于方程?(x)=0构造的多种迭代格式xk+1=g(xk)，怎样判断构造的迭代格式是否收敛？收敛是否与迭代的初值有关？

2、迭代法的收敛条件和误差估计

定理 设迭代函数g(x)满足

(1) 对任意x?[a,b]有 a≤g(x)≤b

(2) g(x)可微，且存在正数q<1，使对任意x?[a,b]有?g?(x)?≤q<1

则迭代公式xk+1=g(xk)对任意初值x0?[a,b]均收敛于方程x=g(x)在区间[a,b]上的唯一根x*，且有如下误差估计式

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