内容发布更新时间 : 2024/12/24 10:17:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
距离,让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向,以每分钟40m的速度直线飞行,10分钟后到达C处,此时热气球上的人测得CB与AB成70°角,请你用测得的数据求A,B两地的距离AB长.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)
【分析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M,通过解直角△ACM得到AM的长度,通过解直角△BCM得到BM的长度,则AB=AM﹣BM. 【解答】解:过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M, 由题意得:AC=40×10=400(米). 在直角△ACM中,∵∠A=30°, ∴CM=AC=200米,AM=在直角△BCM中,∵tan20°=∴BM=200tan20°, ∴AB=AM﹣BM=200
﹣200tan20°=200(
﹣tan20°),
AC=200,
米.
因此A,B两地的距离AB长为200(﹣tan20°)米.
【点评】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识,解题的关键是添加辅助线,构造直角三角形,记住三角函数的定义,以及特殊三角形的边角关系,属于中考常考题型. 23.(7分)(2017?呼和浩特)已知反比例函数y=(1)若点P1(
(k为常数).
,y1)和点P2(﹣,y2)是该反比例函数图象上的两点,试利用反比
例函数的性质比较y1和y2的大小;
(2)设点P(m,n)(m>0)是其图象上的一点,过点P作PM⊥x轴于点M.若tan∠POM=2,PO=
(O为坐标原点),求k的值,并直接写出不等式kx+
>0的解集.
【分析】(1)先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性,再根据P1、
P2两点的横坐标判断出两点所在的象限,故可得出结论.
(2)根据题意求得﹣n=2m,根据勾股定理求得m=1,n=﹣2,得到P(1,﹣2),即可得到﹣k2﹣1=﹣2,即可求得k的值,然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得. 【解答】解:(1)∵﹣k2﹣1<0, ∴反比例函数y=∵﹣<∴y1>y2;
(2)点P(m,n)在反比例函数y=∴n<0,
∴OM=m,PM=﹣n, ∵tan∠POM=2, ∴
=
=2,
的图象上,m>0,
<0,
在每一个象限內y随x的增大而增大,
∴﹣n=2m, ∵PO=
,
∴m2+(﹣n)2=5, ∴m=1,n=﹣2, ∴P(1,﹣2), ∴﹣k2﹣1=﹣2, 解得k=±1,
①当k=﹣1时,则不等式kx+②当k=1时,则不等式kx+
>0的解集为:x<﹣>0的解集为:x>0.
或0<x<
;
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式;也考查了反比例函数和一次函数的交点.
24.(9分)(2017?呼和浩特)如图,点A,B,C,D是直径为AB的⊙O上的四个点,C是劣弧
的中点,AC与BD交于点E.
(1)求证:DC2=CE?AC;
(2)若AE=2,EC=1,求证:△AOD是正三角形;
(3)在(2)的条件下,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点H,求△ACH的面积.
【分析】(1)由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB,证明△ACD∽△DCE,得出对应边成比例,即可得出结论; (2)求出DC=
,连接OC、OD,如图所示:证出BC=DC=
=2
,由圆周角定理得出∠ACB=90°,
,证出△OCD、△OBC是正
由勾股定理得出AB=,得出OB=OC=OD=DC=BC=
三角形,得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°,求出∠AOD=60°,即可得出结论;
(3)由切线的性质得出OC⊥CH,求出∠H=30°,证出∠H=∠BAC,得出AC=CH=3,求出AH和高,由三角形面积公式即可得出答案. 【解答】(1)证明:∵C是劣弧∴∠DAC=∠CDB, ∵∠ACD=∠DCE, ∴△ACD∽△DCE, ∴
=
,
的中点,
∴DC2=CE?AC;
(2)证明:∵AE=2,EC=1, ∴AC=3,
∴DC2=CE?AC=1×3=3, ∴DC=
,
连接OC、OD,如图所示: ∵C是劣弧
的中点,
,
∴OC平分∠DOB,BC=DC=∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴AB=
=2
, ,
∴OB=OC=OD=DC=BC=
∴△OCD、△OBC是正三角形, ∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°,
∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°, ∵OA=OD,
∴△AOD是正三角形;
(3)解:∵CH是⊙O的切线,∴OC⊥CH, ∵∠COH=60°, ∴∠H=30°,
∵∠BAC=90°﹣60°=30°, ∴∠H=∠BAC, ∴AC=CH=3, ∵AH=3
,AH上的高为BC?sin60°=,
×=
.
∴△ACH的面积=×3
【点评】本题是圆的综合题目,考查了圆的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、三角函数、等腰三角形的判定等知识;本题综合性强,有一定难度.
25.(10分)(2017?呼和浩特)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,其顶点记为M,自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等.若点M在直线l:y=﹣12x+16上,点(3,﹣4)在抛物线上. (1)求该抛物线的解析式;
(2)设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P,在x轴上有一点A(﹣,0),试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小(不必证明),并写出相应的P点横坐标x的取值范围. (3)直线l与抛物线另一交点记为B,Q为线段BM上一动点(点Q不与M重合),设Q点坐标为(t,n),过Q作QH⊥x轴于点H,将以点Q,H,O,C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数,标出自变量t的取值范围,并求出S可能取得的最大值.
【分析】(1)根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2.设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣8.将(3,﹣4)代入得抛物线的解析式为y=4(x﹣2)2﹣8,即可得到结论;
(2)由题意得:C(0,8),M(2,﹣8),如图,当∠PCO=∠ACO时,过P作PH⊥y轴于H,