内容发布更新时间 : 2024/12/22 11:20:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

(2019·贵州模拟)若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”．给出下列三个函数：

1x2

①f(x)＝；②f(x)＝2；③f(x)＝lg (x＋2)．

x其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A．①③ B．② C．①② D．③ 答案 B

解析 对于①，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则

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＝＋1，所以x0＋1x0

x2且x0≠－1)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于0＋x0＋1＝0(x0≠0，

②，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则2x0＋1＝2x0＋2，解得x0＝1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则lg [(x0＋1)＋2]＝lg (x0＋2)＋lg (1＋2)，化简得2x0－2x0＋3＝0，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”．

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答题启示

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解决与函数有关的新定义问题的策略

(1)根据定义合理联想，即分析有关信息，通过联想和类比、拆分或构造，可以将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．

(2)捕捉解题信息，紧扣定义，根据定义与条件一步步进行推理求解．

(3)合理、巧妙的赋值，即给x，y等量一些特殊的数值，求得特殊函数值，从而将新定义的函数进行化简和转化，利用已有函数知识进一步求解．

对点训练

(2019·黄冈模拟)若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得

f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )

A．f(x)＝cosx C．f(x)＝x－2x 答案 D

解析 A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当

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B．f(x)＝sinx D．f(x)＝x－2x

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x＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0

或x＝±2，满足题意，故选D.

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