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线性代数 第四章 向量组的相关性 1

第四章 向量组的线性相关性

本章不仅要讨论向量组的有关理论，建立向量组秩的概念，还要沟通矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，并抽象出向量空间的概念，最后以此为背景完整的处理线性方程组的解的结构理论。

本章中线性相关性是一个较难理解和掌握的概念，学习中应注意其在二、三维向量的几何解释。

§1 n维向量

在高等数学中曾介绍了二、三维向量的概念，即用二、三元数组描述了一系列物理现象，如力所作的功，刚体旋转运动中的线速度问题等。但要更广泛的应用向量这个工具只考虑二三维空间就不够了。如研究卫星在太空中的运行状态时，不仅要关注它的几何位置，还需知道它的表面温度、压力等物理参数，即至少要用六数组（t, x, y, z, τ, p）。因此有必要拓广向量的概念，引入由n元数组构成的n维向量，并抽象出向量空间的概念。

定义1 n个有次序的数a1, a2, ?, an所组成的数组成为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量.

注? 分量全为实数的向量称为实向量。分量不全为实数的向量称为复向量。我们只研究实向量。 ? n维向量分为行向量和列向量两大类，前面也说过这两类分别就是行矩阵和列矩阵，因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算，从而符合矩阵运算的一切性质。在本章中，向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算。为叙述方便，我们约定：在不特别声明时我们说到的向量均为列向量。

? 同于分块阵中所述，我们仍用小写黑体字母a, b, ?, ? 等表示列向量，用aT,bT,?T,?T表示行向量。例如，e1?(1,0,?,0)T，e1?(0,1,0,?,0)T，?，e1?(0,?,0,1)T统称为n维单位向量。

? 当n = 2时的二维向量就是平面解析几何中的向量 —— 即有大小又有方向的量，并且平面解析几何中是以可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象， 即大小相等、方向一致的向量认为是同一个向量，如右图中

? P1P2?OP. O 引入一平面坐标系：P(x,y),P1(x1,y2),P2(x2,y2)，因为

x?x2?x1,y?y2?y1，

?这种自由向量OP与平面上的点P(x, y)构成一一对应，称之为向量OP的坐标，即OP?(x,y)T，这种二维向量的全体构成的集合R2?{ r = (x, y)T ? x, y ?R }称为二维向量空间。

完全类似地，可将二维向量推广到三维空间中去。 当n = 3时，由于空间中可随意平行移动的有向线段OP与空间中的点P(x,y,z)构成一一对应，故我们也称点P的坐标(x,y,z)为向量OP坐标，

?即OP?(x,y,z)T，这种三维向量的全体构成的集合R3?{ r = (x, y, z)T ? x, y, z ?R }称为三维向量空间。由于三维向量r =(x,y,z)T与空间中的点P(x,y,z)是一一对应的，三维向量的集合常常就类比成点的集合，例如我们知道ax+by+cz = d在空间中表示一个平面，故我们也称三维向量的集合

? = { r = (x, y, z)T ? ax+by+cz = d} 为三维向量空间R3中的平面。

当n > 3时，虽然n维向量就不再具有这种几何形象了，但我们仍沿用这些说法和记号，全体n维向量构成的集合

Rn?{ r =(x1,x2,?,xn)T? x1,x2,?,xn?R } 称为n维向量空间，n维向量的集合

线性代数 第四章 向量组的相关性 2

? = { r =(x1,x2,?,xn)T?a1x1?a2x2???anxn?b} 称为n维向量空间Rn中的n-1维超平面。

§2 向量组的线性相关性

一、 线性表示

1、线性表示

我们称由若干个同维数的列(行)向量构成的集合是一个向量组。

TTT例如，m?n矩阵A的m个n 维行向量可构成一个行向量组 —— 矩阵A的行向量组?1,?2,?,?n，

T???1??反过来，任给一组n维行向量，都可以构成一得矩阵A????，因此它们构成一一对应；

??T??m?类似地，m?n矩阵A的n个m维列向量构成的列向量组a1,a2,?,am也与A构成一一对应，故我们也用大写字母表示向量组为 A：a1,a2,?,am. 比如，n阶单位阵E对应的列向量组就是n维单位向量组E：e1,e2,?,en.

在讲分块阵时曾建立了线性方程组Am?nx?b用其系数阵A的列向量组来表达的等价形式 x1 a1 + x2 a2 + ? + xn an = b ， 现在要改用向量的语言来描述这个表达式，定义如下

向量个数 = 未知量个数 定义1 给定向量组A：a1,a2,?,am， k1, k2, ?, km是任意一组实数，我们称向量 k1 a1 + k2 a2 + ? + km am

是向量组A的一个线性组合，k1, k2, ?, km称为组合系数。

给定向量组A：a1,a2,?,am,和向量b，若存在一组实数 k1, k2, ?, km，使得

b = k1 a1 + k2 a2 + ? + km am ，

即b是向量组A的一个线性组合，我们称向量b可由向量组A线性表示(或线性表出)

注? 任一个n维向量a = (a1, a2, ?, an)T 都可由n维单位向量组e1,e2,?,en线性表示: a = a1e1 + a2 e2 +? + an en .

? 在几何角度看线性表示，即在二维向量空间中 来看线性组合： 若 b = k1 a1 + k2 a2 ， (k1 k2 ? 0) 则b在a1与a2张成的平面上。 非零组合 ? 实际上，用方程组的语言来描述向量之间的线性表示就是

向量b可由向量组A线性表示 ? 方程组 x1 a1 + x2 a2 + ? + xn an = b 有解

? Am?nx?b有解

? R (A) = R (B) .

即有结论

定理1 向量b可由向量组A：a1,a2,?,am线性表示 ? 矩阵A = (a1,a2,?,am)的秩等于矩阵B =(a1,a2,?,am, b)的秩。

2、两个向量组的等价

定义3 设有两个n维向量组A：a1,a2,?,am，B：b1,b2,?,bs，若向量组B中每个向量都可由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示；若向量组A与向量组B可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

沟通了向量组线性表示、矩阵的秩、方程组有解三者之间的关系 线性代数 第四章 向量组的相关性 3

注? 显然向量组的等价也是等价关系，即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. ? 若向量组A可由向量组B线性表示，则A中的每一个向量都可以用B中的向量线性表示，用方程组的语言说就是：方程组Ax = O中的每一个方程都可以用方程组Bx = O中的方程线性组合得到，所以Bx = O的解都是Ax = O的解；若向量组A与B等价，则反之也成立。所以

向量组A与B等价 ? Ax = O与Bx = O是同解方程组。

? 既然一个向量b可由向量组A线性表示可等价地表示成方程 b = k1 a1 + k2 a2 + ? + km am ， 那么若向量组B可由组A线性表示，则对组B的任意向量b j，有

?k1j???k2j? j = 1,2, ?, s. b j = k1 j a1 + k2 j a2 + ? + km j am ??a1,a2,?,am?????记忆方法： ?kmj???列向量组是右乘表示?k11k12?k1s?矩阵，同于作列变换 ??k22?k2s?k? ?b1,b2,?,bs???a1,a2,?,am??21 ? B = AK ， ?????????km1km2?kms?我们称矩阵K m?s =( kij)为这个线性表示的系数矩阵，或表示矩阵，即 矩阵乘法的向量组解释 B = AK ? B的列向量组可由A的列向量组线性表示。

又B T = K TA T，这表明矩阵B T的列向量组可由A T的列向量组线性表示，即

B?KA ? B的行向量组可由A的行向量组线性表示。

特别地，若An?mKm?Bn?m，且表示矩阵K为满秩阵 ? A的列向量组与B的列向量组等价；

KnAn?m?Bn?m，且表示矩阵K为满秩阵 ? A的行向量组与B的行向量组等价；

例1 设n维向量组a1,a2,?,an可线性表示单位向量组e1,e2,?,en，求证这两个向量组等价。

证 因为a1,a2,?,an可由单位向量组e1,e2,?,en线性表示，再由已知条件知，结论成立。 ▋ 单位向量组e1,e2,?,en是很有特点的一个向量组，从几何的观点来看(如下图中的i, j, k)，它们中的任何一个向量都不能由其余的向量线性表出，也可形象地说：任一 向量“突出”于其余的n–1个向量生成的“空间”之(见右图)。我们 如何用数学语言来描述、即如何抽象这个几何特征？ 我们以三个向量 为例来分析看看。设有a1,a2,a3，我们的问题是：

a1可否表示为a2,a3的线性组合？ a2可否表示为a1,a3的线性组合？

a3可否表示为a1,a2的线性组合？

这三个式子能否用一个式子表达？只需验算 k1a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0有无非零解？即是否存在不全为零的数k1 , k2 , k3，使 k1a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0. 这个问题的抽象就是本节的第二个重要概念：

二、线性相关性

1、线性相关的概念与基本性质

定义4 给定向量组A：a1,a2,?,am，若存在不全为零的数k1, k2, ?, km，使

k1 a1 + k2 a2 + ? + km am = 0 ， 则称向量组A是线性相关的。否则称它为线性无关。

注 a1,?,am线性无关 ? 当且仅当k1 = ? = km= 0时，k1 a1 + ? + km am = 0才能成立 。

k???10例如，k1 e1 + k2 e2 + ? + km em = 0 ? ??，所以n维单位向量组是线性无关的 (P.101例1).

??km?0 线性代数 第四章 向量组的相关性 4

基本性质： 0

1 k a = 0：只含一个向量a的向量组，若a = 0，则它线性相关；若a ? 0，则它线性无关。 0

2 任一含有零向量的向量组线性相关.( k1 a1 + ? +ki0 +? + km am =0). 0

3 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例。 （ ∵k(a1,a2,?,an)?l(b1,b2,?,bn)?(0,0,?,0)

? (a1,a2,?,an)??l(b1,b2,?,bn) （k? 0） ）.

k0

注 由3可看出，线性相关的几何意义就是： 两个向量共线，三个向量？ 共面。

例2(P.102例3) 设向量组a1,a2,a3线性无关，b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a1，讨论向

量组b1,b2,b3的线性相关性。

解 设 k1b1 + k2b2 + k3b3 = 0 ? (k1 + k3)a1 +( k2 + k3) a2 +(k1 + k2) am = 0

∵ a1,a2,a3线性无关， ∴ k1 + k3= 0，k2 + k3= 0，k1 + k2 = 0

101∵ 011??2?0 ∴ k1 = k2 = k3 = 0， ∴ b1,b2,b3 线性无关。

110用定义判定向量组的相关性实质上就是利用解线性方程组的方法，具体步骤如下：

(1) 设出所讨论向量组的零组合式；

(2) 将已知条件代入(1)，以从找出组合系数所满足的方程组； (3) 由此方程组有无零解判定所求线性相关性。

2、线性相关性的判定

我们先讨论一下线性相关与线性表示的关系。设向量组A：a1,a2,?,am(m≥2).

若向量组A线性相关 ? 有不全为零的数k1, k2, ?, km使 k1 a1 + k2 a2 + ? + km am = 0 ， 1不妨设k1 ? 0 ? a1 = ?k(k2 a2 + ? + km am ) ? a1可由a2,?,am线性表示；

1

反之，若A中有一个向量可由其余m–1个向量线性表示，不妨设为am，则存在实数?1,?2,?,?m?1使 am = ?1 a1 + ?2 a2 + ? + ?m-1 am-1 ? ?1 a1 + ?2 a2 + ? + ?m-1 am-1 - am = 0， 因为?1,?2,?,?m?1,?1 这m个数不全为零，所以向量组A线性相关。

综合以上讨论可得到一个利用线性表示判断线性相关性的重要结论：

a1,a2,?,am(m≥2)线性相关 ? A中至少有一个向量可由其余向量线性表示。结论 向量组A：

再换一个角度，从线性相关的定义可看出：

向量组A：a1,a2,?,am线性相关 ? 方程组A k = O有非零解，其中k = (k1, k2, ?, km)T， ? R (A) < m .

我们沟通了向量组的线性相关性、矩阵秩、方程组有解三者之间的关系，可用矩阵的秩判定向量组的相关性，叙述如下：

定理2 向量组A：a1,a2,?,am线性相关 ? R (A) < m ，其中A =(a1,a2,?,am)；

A线性无关 ? R (A) = m .

注 这使我们可用初等行变换的方法判定向量组的相关性。 例3 试讨论n维单位向量组的相关性。 解 ∵E =(e1,e2,?,en)的行列式E?1?0， ∴R (E ) = n ，由定理2知n维单位向量组线性相关。

推论 任意n个n维向量线性无关 ? 由它们构成的方阵A的行列式不等于零,或R(A) = n. 例4(P.102例2) 已知a1?(1,1,1)T,a2?(0,2,5)T,a3?(2,4,7)T，试讨论向量组a1,a2,a3及向量组

a1,a2的线性相关性。

线性代数 第四章 向量组的相关性 5

?102??102???解 (a1,a2,a3)?124 ?022? ? R(a1,a2,a3)= 2 ? a1,a2,a3线性相关； ?????157??055?? R(a1,a2)= 2 ? a1,a2线性无关。 ▋

我们在从其它角度介绍几个相关性的判定条件，它们都可以由定理2证得。

定理3(1) 若向量组A：a1,a2,?,am线性相关，则向量组B：a1,a2,?,am,am?1也线性相关； 反言之，线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。

注 结论可以推广，在增加有限多个向量时结论也成立，它实际上是从向量组整体与部分的关系判断相关性，可简述为：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关。用方程组的语言来说就是部分方程里有多余方程，整体组就有多余方程，

证 记 A =(a1,a2,?,am)，B =(a1,?,am,am?1) ? R (B)≤R (A) +1，

由条件及定理2知，R(A) = m ? R (B) < m +1，再由定理2知，B线性无关。 ▋

定理3(2) 若m个r维向量线性无关，则对应的m个r+1 维向量也线性无关。

注 结论可以推广： r 维线性无关的向量，添加n-r个相应分量组成的n维向量仍旧线性无关，且可添加在任何位次。 它实际上是从向量维数的增加与减少的关系判断相关性， 可简述为：无关组，添加分量后仍无关；反言之，相关组，减少分量后仍相关。

证 记 A r?m =(a1,a2,?,am)，B (r+1) ?m =(b1,b2,?,bm) ? R (A) ≤ R (B) ≤ m，

∵ A线性无关，∴R(A) = m ? R (B) = m ? B线性无关 ▋

定理3(3) 当m > n时，m个n维向量线性相关。

注 从向量个数与维数的关系判断相关性，可简述为：向量个数大于维数时必线性相关。 因为向量个数?未知量个数，向量维数?方程个数，则定理3(3)就是关于齐次线性方程组有解的一个结论：

当未知量个数 > 方程个数时，齐次线性方程组必有非零解。

证 记m个n维向量a1,a2,?,am构成矩阵Am?n，则 R(A) ≤ n， ∵ n < m，∴ R(A) < m

? a1,a2,?,am线性无关。 ▋ 定理3(4) 若线性无关的向量组添上一个向量就线性相关的话，则添上的向量可由这个向量组唯一地线性表出。

注 用方程组的术语说就是非齐次线性方程组有唯一解的结论，因为向量组线性无关即它构成的矩阵的秩 = m，添一个就线性相关即用添的向量作齐次项的方程组有解，由有解判定定理可知必有唯一解。

证 记 A =(a1,a2,?,am)，B =(a1,a2,?,am, b) ? R(A)≤R(B), ∵ A线性无关， ∴ R(A) = m；另一方面∵B线性相关 ? m≤R(B) < m+1 ? R(B) = m ? B线性相关。 又∵ R(A) = R(B) = m， ∴ 方程组Ax = b有唯一解，这表明b可由向量组A唯一地表示。▋

在以上的讨论中，经常采用将向量组构成矩阵，然后通过矩阵秩的性质来说明问题，很麻烦。自然地有想法：能否将矩阵秩的概念直接移植到向量组中来，从而直接应用向量组的秩来说明问题。也可以这样想，既然向量组、方程组和矩阵之间关系密切，语言相通，那么矩阵秩的概念在向量组中的体现是什么？这就是下节要讨论的内容。

§3 向量组的秩

一、概念与基本性质

定义5 设有向量组A，若在A中能选出r个向量a1,?,ar，满足