内容发布更新时间 : 2024/11/10 10:05:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第十四单元 圆锥曲线的概念与几何性
质
考点一 椭圆的标准方程和几何性质
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1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( ).
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,√3]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,√3]∪[4,+∞) 【解析】当0 当m>3时,焦点在y轴上, 要使C上存在点M满足∠AMB=120°, 则≥tan60°=√3,即???? √??≥√3,解得√3????√3√??≥√3, m≥9. 故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞). 故选A. 【答案】A 2.(2014年大纲卷)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.3 ??2??2???? √3若△AF1B的周长为4√3,则C的方程为( ). ??2??232 ??23 A.+=1 B.+y=1 2 第 1 页 共 51 页 C.+=1 D.+=1 【解析】因为△AF1B的周长为4√3,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4√3,所以a=√3.又因为椭圆的离心率e==,所以c=1,所以b=a-c=3-1=2,所以椭圆C的方程为+=1,故选A. 2 2 2 ??2??2128??2??2124 ??√3??3??2??232【答案】A 3.(2013年全国Ⅱ卷)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( ). A. B. C. D. 6 3 √3??2??2???? 1312 √3【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=√3m,故离心率 e=??=2??=|??????2?? |??1??2|√3m√3==. 1|+|P??2|2??+??3(法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=√3|PF2|,故2c=√3·,变形可得√3(a-c)=2ac,等式两边同除以a,得√3(1-e)=2e,解 2 2 2 2 ??2????2????2?? 得e=或e=-√3(舍去). 3 √3【答案】D 4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线 ??2??2???? bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( ). √6√3√2A. B. C. D. 3 3 3 13 【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a. ∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切, ∴圆心到直线的距离d=2????√??2+??2=a,解得a=√3b, ∴??=3, √2 ??√??2-?? ∴e=??=??=√1 ??1??1√6?()= √1?()=.故选A. ??√3223【答案】A 第 2 页 共 51 页 考点二 双曲线的标准方程和几何性质 ??2??2 -=1 ??2+n3??2-n5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程( ). 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 A.(-1,3) B.(-1,√3) C.(0,3) D.(0,√3) 【解析】若已知方程表示双曲线,则(m+n)(3m-n)>0,解得-m 2 2 2 2 又4=4m,所以m=1,所以-1 2 2 【答案】A 6.(2017年全国Ⅲ卷)已知双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点, 2 ??2??2???? √5??2??2123 则C的方程为( ). ??2??2810 ??2??245 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 ??2??254??2??243 【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以=.又因为椭圆与双曲线的焦点为(±3,0),即c=3,且c=a+b,所以a=4,b=5,故双曲线C的方程为-=1. 2 2 2 2 2 ??????√5??2 ??2??245 【答案】B 7.(2017年全国Ⅱ卷)若双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)+y=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( ). 2√3 3??2??2???? 2 2 A.2 B.√3 C.√2 D. 【解析】根据双曲线的对称性,可取渐近线为y=x,即bx-ay=0.由题意,知圆心(2,0)到渐近线的距离 ?? ??d=√22-12=√3,即|2??|√??2+??2=??=√3,所以 2?? 4(??2-??2) =3,解得??2c2=4a2.所以e2=4,e=2. 【答案】A 第 3 页 共 51 页