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数学建模作业（三）

第三章习题

2013/04/09

速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气的密度是ρ，用量纲分析法确定

风车获得的功率p与v，s，ρ的关系。

? 对于风车获得的功率p与v，s，ρ的关系我们假设：

1.忽略其它因素对功率的影响 2.将其视为理想化模型

? 在这些假设下，风车获得的功率与以下物理量有关：

风车获得的功率p，风速v，迎风面积s，空气密度ρ。 ? 它们的量纲分别是

[p]?ML2T?3,[v]?LT?1,[s]?L2,[?]?ML?3.

? 设?=p1v2s3?????4，有

2?3?1[?]?(MLT)(LT?1)?2(L2)?3(ML?3)?4?M?1+?42?1+?2+2?3-3?4LT-3?1-?2

由[?]?1得到以下线性方程组

??1??4?0??2?1??2?2?3?3?4?0 ???3?1??2?0不难验证，这个方程组的秩为3. 因此方程组的解空间是4维。 由

???=?1?

1可得方程组的基本解： e1?(1,?3,?1,?1),

于是，与这四个参数有关的量纲乘积为 ?1=pv?3?1s??1,

? 四个物理量之间的关系为f?1???0.即

fpv?3s?1??1?0.

? 根据隐函数运算法则，得

???

p??s?v3，

其中?为无单位的常比例系数。

俗话说“大饺子能装馅”，试自建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这

一说法是否正确。

? “大饺子能装馅”考虑到实际是相同面积的饺子皮可以用掉更多体积的饺子馅。 ? 为了简化模型，我们做出以下假设

1. 饺子都是标准球形 2.

3. 饺子大小全部一致 4.

5. 饺子皮的厚度相同 6. 饺子皮的厚度忽略不计 ? 涉及到的物理量：

饺子皮总面积S，一个饺子皮的面积s，饺子数n，饺子半径r，所包馅的总体积V，一个饺子包含馅的体积v ?

? 这些物理量有以下关系：

s=4?r2v?4?r33n?S/s

V?nv 可得V?Ss34? ? 因此，大饺子能装馅，这一说法正确。