内容发布更新时间 : 2024/7/6 20:20:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

课程十一

最大公约数和最小公倍数

学习目标 1.倍数与约数的特性 2.倍与倍数的特性 3.分解质因数法 4.短除法 5.辗转相除法

重 点 1.几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做 这几个数的最大公约数。 2.几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做 这几个数的最小公倍数。

总 结 1.两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。 2.两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。 3.两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 4.两数互质，最大公约数是1，最小公倍数是两数之积。

5.两数成倍数关系，最大公约数是较小数，最小公倍数是较大数。

引 入

甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天 去一次，丙每9天去一次。如果这一次他们三人是3月23日都在这个老师 家见面，那么下一次三人都在这个老师家见面的时间是几月几日？ 基础知识 如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数 和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在。如只能说16是某 数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。 “倍”与“倍数”是不同的两个概念，“倍”是指两个数相除的商，它 可以是整数、小数或者分数。“倍数”只是在数的整除的范围内，相对于“ 约数”而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数，它 必须是一个自然数。 几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一个， 叫做这几个数的最大公约数。例如：12，16的公约数有1，2，4，其中最大 的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12,16）=4。12,15,18 的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个， 叫做这几数的最小公倍数。例如：4的倍数有4，8，12，16，…，6的倍数 有6，12，18，24，…，4和6的公倍数有12，24，…，其中最小的是12， 一般记为[4,6]=12。12，15，18的最小公倍数是180。记为[12，15，18]=180。

分解质因子法

把每个数分别分解质因子，再把各数中的全部公有质因子提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如：求24和60的最大公约数，先分解质因子，得24=2×2×3，

60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因子是2，2，3它们的积是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。

把几个数先分别分解质因子，再把各数中的全部公有的质因子和独有的质因子提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因子，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因子是3，6独有质因子是2，15独有的质因子是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因子2和3，还包含了15的全部质因子3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

短除法

短除法求最大约数， 先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。例如，求24，48，60的最大公约数。

（24，48，60）=2×3×2=12

短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所有的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12，15，18的最小公倍数。

3

12 15 18 2 4 5 6 2 5 3 2 3 2

24 48 60 12 24 30 4 8 10 2 4 5

（12，15，18）=3×2×2×5×3=180

无论是短除法，还是分解质因子法，在质因子较大时，都会觉得困难。这时就需要用新的方法。

辗转相除法

先看一个例子：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_____毫米。

分析与解法

剪的过程如图所示