内容发布更新时间 : 2024/12/25 22:34:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第九章 不定积分 1 定积分概念

一、问题提出

1、曲边梯形的面积：设f为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形，称为曲边梯形.

在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x0

而直线x=xi, i=1,2,…,n-1又将曲边梯形分割成n个小曲边梯形. 在每个[xi-1,xi]上任取一点ξi, 作以f(ξi)为高，[xi-1,xi]为底的小矩形. 当分割[a,b]的分点足够多，分割得足够细密时，可用这些小矩形的面积近似地替代相应小曲边梯形的面积. 于是，这n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S的近似值，即S≈?f(ξi)△xi (△xi=xi-xi-1).

i?1n当和式与某常数无限接近且与xi和ξi的选取无关时，则把此常数定义为曲边梯形的面积S.

2、变力所作的功：质点受变力F的作用沿点a移动到点b，力与运动方向平行，则F=F(x), x∈[a,b]为连续函数，此时在很小一段位移区间上F(x)可以近似看作一个常量，把[a,b]细分为n个小区间[xi-1,xi]，△xi=xi-xi-1, i=1,2,…,n. 在每个小区间上任取一点ξi，就有

F(x)≈F(ξi), x∈[xi-1,xi], i=1,2,…,n. 于是质点从xi-1位移到xi时，力F所

作的功就近似等于F(ξi)△xi, 从而W≈?F(ξi)△xi (△xi=xi-xi-1).

i?1n对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W.

注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”.

二、定积分的定义

定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x0

1?i?n

定义2：设f是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割 T={△0,△1,…,△n}, 任取ξi∈△i, i=1,2,…,n，并作和式?f(ξi)△xi，称此

i?1n和式为函数f在[a,b]上的一个积分和，也称为黎曼和.

定义3：设f是定义在[a,b]上的一个函数，J是一个确定的实数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a,b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集{ξi }, 只要║T║<δ，就有|?f(ξi)△xi -J|<ε，则称

i?1n函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积；数J称为f在[a,b]上的定积分

或黎曼积分，记作：J=?af(x)dx. 其中f称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a、b分别称为这个定积分的下限和上限.

注：1、可用极限符号表达定积分：J=lim?f(ξi)△xi=?af(x)dx. T?0i?1nbb2、连续函数可积：

1)连续曲线y=f(x)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为：S=?af(x)dx. 2)连续变力F(x)作用下，质点从a位移到b所作的功为：W=?aF(x)dx. 3、定积分的几何意义：对于[a,b]上的连续函数f，当f(x)≥0时，定积分的几何意义是该曲边梯形的面积；当f(x)≤0时，定积分是x轴下方的曲边梯形的面积，不妨称之为“负面积”，因此对一般非定号的f(x)而言，定积分J的值是曲线y=f(x)在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。

4、定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数f和积分区间[a,b]有关，与积分变量所用的符号无关，即?af(x)dx=?af(t)dt=?af(θ)dθ=…

例：求在区间[0,1]上，以抛物线y=x2为曲边的曲边三角形的面积.

2ξi△xi. 解：∵y=x在区间[0,1]上连续，∴S=?0xdx=lim?T?0bbbbb2

12ni?1取T={0,,,…,

n212nn1n-1i-1,1}，ξi =, i=1,2,…,n. 则║T║=，

nnn1i-1?1limS=lim??=???3n?∞n??nn?∞ni?1?(i-1)2=limi?1n(n-1)n(2n-1)1=. 3n?∞36n