内容发布更新时间 : 2024/9/20 4:13:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

章末复习课 （名师：蒋力）

一、思维导图

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离 二、例题讲解

例1．已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD＝O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝1，得到三棱锥A－BCD，如图所示．

(1)若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD； (2)求证：AO⊥平面BCD； (3)求二面角A－BC－D的余弦值． 3

答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)3

解析：【知识点】用向量法解决平行垂直和二面角问题． 2【解题过程】在△AOC中，∵AC＝1，AO＝CO＝2， ∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO．

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD，CO⊥BD，即AO、CO、BD两两垂直，

以O为原点，OC、OD、OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则2222

C(2,0,0)、D(0,2,0)、A(0,0,2)、B(0,－2,0)．

222222

(1)∵M为AB的中点∴M(0,－4,4)，OM＝(0,－4,4)，DA＝(0,－2,2)， ∴OM?DA，∴OM∥DA，

∵OM ?平面ACD，∴OM∥平面ACD．

(2)由于AO⊥BD，AO⊥OC，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD．

→＝(0,0，2)是平面BCD的一个法向量．＝(2,0,－2)，＝(2，(3)易知OAAC222BC22

2，0)，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则nBC?0,nAC?0．

12???即????2x?22x?22y?02 2z?02所以y＝－x且z＝x，令x＝1，则y＝－1，z＝1，得n＝(1,－1,1)． 从而cos?n,OA??nOAnOA?3，易知二面角A－BC－D为锐二面角，∴二面角33

A－BC－D的余弦值为3．

点拨：建系写出坐标是利用向量法最有力的手段．

例2．如图所示，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC1

＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝2AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点.

(1)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值；

(2)能否在ME上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由

【知识点】用向量法解决垂直和线面角问题．

【解题过程】解析：∵BD⊥BA，又平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，BD?平面ABDE，∴BD⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴AE⊥平面ABC

如图所示，以点C为坐标原点，分别以CA，CB为x轴，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0).

(1)CD＝(0,4,2)，OD＝(－2,4,0)，MD＝(－2,2,2).

设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥OD，n⊥MD，可得?－2x＋4y＝0?，令x＝2，得y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1). ?－2x＋2y＋2z＝0