内容发布更新时间 : 2024/7/1 19:34:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
直线和双曲线的位置关系
从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力. 一、要点精讲
1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.
x2y2设双曲线方程2?2?1?a?0,b?0?，直线Ax+By+C=0,
ab将直线方程与双曲线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0,
(1)若m≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.
(2)若m=0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2．弦长公式：设直线y?kx?b交双曲线于P1?x1,y1?，P2?x2,y2?，
?1?k?则P1P2?x1?x21?k或P1P2?y1?y21?二、基础自测 1．经过点P?22?x1?x2?2?4x1x2，
11?1??k2k2?y1?y2?2?4y1y2?k?0?．
?1?,2?且与双曲线4x2?y2?1仅有一个公共点的直线有（ ） ?2? (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条
2．直线y= kx与双曲线4x2?y2?16不可能（ ）
（A）相交 （B）只有一个交点 （C）相离 （D）有两个公共点
y2x2??1的通径长是 3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线
169(A)
99 (B) (C) 9 (D) 10 424．若一直线l平行于双曲线的一条渐近线，则l与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线x?y?8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．
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x2y26．直线l在双曲线??1上截得的弦长为4，且l的斜率为2，求直线l的方程．
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三、典例精析
题型一：直线与双曲线的位置关系
1．过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有( ) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
解：过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.
2、若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( ) A.?－?
1515?15?15?15?? B.?0， C.?－，，0 D.－，－1
33?3???3??3?
15
，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近 3
15 解：直线与双曲线右支相切时，k＝－ 线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－ x2y2??1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。 3、过点P(7,5)与双曲线 725 4、直线y?kx?1与双曲线3x?y?1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？ 2 22 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2019-2-7 点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。 5．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。 bx2y2解：设双曲线的方程为2?2?1(a?0,b?0)，F(c,0)，渐近线y?x，则过F的直线方程为 aab?b2x2?a2y2?a2b2?0a?44244224y??(x?c)，则?， 代入得(b?a)x?2acx?ac?ab?0， ab?y??(x?c)b?∴????044即得b?a， ∴b?a，即得到e?2。 ?x1x2?0点评：直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系，取值范围往往与判别式的取值建立联系。 题型二： 求双曲线方程 6. 已知焦点在x轴上的双曲线上一点P，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线y?x?2被双曲线截得的弦长为202，求此双曲线的标准方程． 7. 双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别 AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． 交l1，l2于A，B两点．已知OA、[键入公司名称] 3