高数下册常用常见知识点 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:23:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

. 第九章 多元函数微分法及其应用 (一) 基本概念 1、 2、 3、 4、 5、

距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。 多元函数:z极限:连续:

?f(x,y),图形,定义域:

(x,y)?(x0,y0)(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A

f(x,y)?f(x0,y0)

lim偏导数:

fx(x0,y0)?limfy(x0,y0)?lim6、

方向导数:

?x?0f( x0??x,y0)?f( x0,y0)

?xf(x0,y0??y)?f(x0,y0)

?y?y?0?f?f?f?cos??cos??l?x?y7、

其中

?,?为

l的方向角。

??梯度:z?f(x,y),则gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j。

8、

?z?zdz?dx?dy

全微分:设z?f(x,y),则

?x?y(二) 性质 1、

函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:

.

.

1 2 偏导数连续 函数可微 偏导数存在 充分条件

必要条件 4 定义 2 3 函数连续 2、 闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理) 3、 微分法

1) 定义: u x

2) 复合函数求导:链式法则

z

z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y),则

v ?z?z?u?z?v?z?z?x??u??x??v??x,?y??u??u?y??z?v??v?y 3)

隐函数求导:a.两边求偏导,然后解方程(组),b.公式法

(三) 应用 1、 极值

1)

无条件极值:求函数z?f(x,y)的极值

??fx?0解方程组 ???f 求出所有驻点,对于每一个驻点(x0,y0),令 y?0A?fxx(x0,y0),B?fxy(x0,y0),C?fyy(x0,y0),

① 若AC?B2?0,A?0,函数有极小值,

AC?B2?0,A?0,函数有极大值;

.

y

.

② 若③ 若2) 令:

AC?B2?0,函数没有极值; AC?B2?0,不定。

?f(x,y)在条件?(x,y)?0下的极值

条件极值:求函数zL(x,y)?f(x,y)???(x,y) ——— Lagrange函数

?Lx?0???Ly?0 ????(x,y)?0解方程组

2、 1)

几何应用

曲线的切线与法平面

?x?x(t)???:?y?y(t),则?上一点M(x0,y0,z0)(对应参数为t0)处的 曲线

???z?z(t)x?x0y?y0z?z0??切线方程为:

x?(t0)y?(t0)z?(t0)法平面方程为:2)

x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0

曲面的切平面与法线

曲面?:F(x,y,z)?0,则?上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为:

Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0

x?x0y?y0z?z0?? 法线方程为:

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

第十章 重积分 (一) 二重积分

.

.

1、 定义:

?f(???f(x,y)d??lim?D?0k?1nk,?k)??k

2、 3、 4、 1)

性质:(6条)

几何意义:曲顶柱体的体积。 计算: 直角坐标

??1(x)?y??2(x)??, X型区域:D??(x,y)a?x?b????f(x,y)dxdy??Dbadx??2(x)?1(x)f(x,y)dy

??1(y)?x??2(y)??, Y型区域:D??(x,y)c?y?d????f(x,y)dxdy??Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx

*交换积分次序(课后题) 2)

极坐标

??1(?)????2(?)?D??(?,?)????????

??f(x,y)dxdy???d????D??2(?)1()f(?cos?,?sin?)?d?

(二) 三重积分

1、 2、

.

定义: 性质:

????f(x,y,z)dv?lim??0?f(?k?1nk,?k,?k)?vk

.

3、 1)

计算: 直角坐标

????f(x,y,z)dv???dxdy?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz -----------投影法“先一后二”

???2)

?f(x,y,z)dv??dz??abDZf(x,y,z)dxdy -----------截面法“先二后一”

柱面坐标

?x??cos????y??sin????z?z3)

*球面坐标*

????f(x,y,z)dv????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz

??x?rsin?cos????y?rsin?sin????z?rcos?

???曲面

?f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??

(三) 应用

S:z?f(x,y),(x,y)?D的面积:

?z2?z21?()?()dxdy

?x?yA???

D第十一章 曲线积分与曲面积分 (一) 对弧长的曲线积分

1、

.

定义:

?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)??si

??0i?1n