高数下册常用常见知识点 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/26 0:52:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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2、 性质:

1)

?[?f(x,y)??(x,y)]ds???LLf(x,y)ds???g(x,y)ds.

L2)

?Lf(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds. (L?L1?L2).

L1L23)在L上,若

f(x,y)?g(x,y),则?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds.

( l 为曲线弧 L的长度)

4)L3、

?ds?l计算:

f(x,y)在曲线弧

L上有定义且连续,

??x??(t),(??t??),其中

L的参数方程为???y??(t),?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数,且??2(t)???2(t)?0,则

?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt ,??(???)

(二) 对坐标的曲线积分 1、

定义:设 L 为

xoy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数P(x,y)n,Q(x,y)在 L 上有界,

定义L?P(x,y)dx?lim?P(?k,?k)?xk??0k?1nk,

Q(???Q(x,y)dy?lim?L?0k?1,?k)?yk.

向量形式:2、

??L?F?dr??P(x,y)dx?Q(x,y)dy

L性质:

??用L表示L的反向弧 , 则??F(x,y)?dr???F(x,y)?dr

LL3、

计算:

设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续, .

L的参数方程为

.

??x??(t),(t:???)???y??(t),,其中

?(t),?(t)在

[?,?]上具有一阶连续导数,且

??2(t)???2(t)?0,则

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt

?L?4、 两类曲线积分之间的关系:

L: ??x??(t)设平面有向曲线弧为

???y??(t),

L上点(x,y)处的切向量的方向角为:

cos????(t)??(t)??2(t)???2(t),cos????2(t)???2(t),

则?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qcos?)ds.

(三) 格林公式

1、格林公式:设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数P(x,y),Q(x,y)在

?D 上具有连续一阶偏导数, 则有?????Q??P??dxdy?D??x?y???Pdx?Qdy

L2、

G为一个单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数,则

?Q?x??P?y ?曲线积分 ?Pdx?Qdy在G内与路径无关 L?曲线积分?Pdx?Qdy?0

L? P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分

(四) 对面积的曲面积分 1、

定义:

.

,?,

?.

设?为光滑曲面,函数f(x,y,z)是定义在?上的一个有界函数,

n定义 2、

???f(x,y,z)dS?lim?f(?i,?i,?i)?Si

??0i?1计算:———“一单值显函数、二投影、三代入”

?:z?z(x,y),(x,y)?Dxy,则

???f(x,y,z)dS???Dxyf[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy

22(五) 对坐标的曲面积分 1、 2、 设

预备知识:曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量 定义:

为有向光滑曲面,函数

?P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在?n上的有界函数,定义

???R(x,y,z)dxdy?lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy

??0i?1同理,

???P(x,y,z)dydz?lim?P(?i,?i,?i)(?Si)yz

??0i?1n???Q(x,y,z)dzdx?lim?R(?i,?i,?i)(?Si)zx

??0i?1n3、 1)?性质:

??1??2,则

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????1?2Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

2)?表示与?取相反侧的有向曲面 , 则4、

计算:——“一投二代三定号”

?????Rdxdy????Rdxdy

??:z?z(x,y),(x,y)?Dxy,z?z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,R(x,y,z)在?上连续,

.

.

???R(x,y,z)dxdy????两类曲面积分之间的关系:

DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy,?为上侧取“ + ,” ?为下侧取“ - ”.

5、

???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pcos??Qcos??Rcos??dS

?其中

?,?,?为有向曲面?在点(x,y,z)处的法向量的方向角。

(六) 高斯公式 1、

高斯公式:设空间闭区域?由分片光滑的闭曲面?所围成,

?的方向取外侧, 函数P,Q,R在?上有

连续的一阶偏导数, 则有

??P?Q?R????????x??y??z??dxdydz ????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

????P?Q?R?????dxdydz ????Pcos??Qcos??Rcos??dS 或????????x?y?z??2、

*通量与散度*

?通量:向量场A?(P,Q,R)通过曲面?指定侧的通量为:????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

???P?Q?R??散度:divA??x?y?z(七) *斯托克斯公式* 1、

斯托克斯公式:设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, ? 的侧与 ? 的正向符合右手法则,

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含? 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

??R?Q???P?R???Q?P??????y??z??dydz????z??x??dzdx????x??y??dxdy ???Pdx?Qdy?Rdz

???????为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

.

.

???dydzdzdxdxdy?????Pdx?Qdy?Rdz? ?x?y?zPQR*环流量与旋度*

2、

?环流量:向量场A?(P,Q,R)沿着有向闭曲线?的环流量为??Pdx?Qdy?Rdz

???R?Q?P?R?Q?P?旋度:rot A????y??z, ?z??x, ?x??y??

??

第十二章 无穷级数 (一) 常数项级数 1、

定义:

?1)无穷级数:

?un?1nk?1n?u1?u2?u3???un??

部分和:Sn??uk?u1?u2?u3???un,

?n正项级数:

?un?1?n?1,unn?0

交错级数:

?(?1)un,un?0

2)级数收敛:若limSnn???S存在,则称级数

??un?1?n收敛,否则称级数

?un?1?n发散

3)条件收敛:

??un?1n?n收敛,而

?un?1n发散;

绝对收敛:

?un?1收敛。

.