内容发布更新时间 : 2024/5/20 0:59:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第4讲 推理与证明

1．(2016·课标全国丙)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )

A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 答案 C

解析 第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A4个，其中110100；110010；110001,101100不符合题意，三个1都不在一起时有C4个，共2＋8＋4＝14(个)． 2．(2016·山东)观察下列等式：

3

2

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＝4×1×2； ??3?3?3????

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋?sin 4π?－2＝4×2×3； ????5?5?5?5?3?????????sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 6π?－2＝4×3×4； ????7?7?7?7?3?????????sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 8π?－2＝4×4×5； ????9?9?9?9?3????????

…

π?－2?2π?－2?3π?－22nπ?－2??照此规律，?sin ＋?sin ＋?sin ＋…＋?sin ????＝

2n＋1?2n＋1?2n＋1?2n＋1?????__________. 4

答案 n(n＋1)

3

4

解析 观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.

33．(2016·课标全国甲)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 答案 1和3

解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙

1

的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．

1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.

2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.

热点一 归纳推理

1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． 2．归纳推理的思维过程如下：

实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论

例1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为

nn＋

2121

＝n＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了22

部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ……

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(8,12)＝____________.

11157*

(2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则23n22有______________________． 答案 (1)288 (2)f(2)>

nN(n,3)＝n2＋n， N(n,4)＝n2， N(n,5)＝n2－n， N(n,6)＝2n2－n

3

2

12

1212

n＋2

2

(n≥2，n∈N)

*

1213－224－34－224－4

解析 (1)原已知式子可化为N(n,3)＝n＋n＝n＋n，N(n,4)＝n2＝n＋

222222

2

n，N(n,5)＝n2－n＝

32125－224－56－224－6

n＋n，N(n,6)＝2n2－n＝n＋n， 2222

由归纳推理可得N(n，k)＝

k－224－kn＋n，

2

2

12－224－12

故N(8,12)＝×8＋×8＝288.

22

4567n＋22345n(2)由题意得f(2)>，f(2)>，f(2)>，f(2)>，所以当n≥2时，有f(2)>. 22222故填f(2)>

nn＋2

2

(n≥2，n∈N)．

*

思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．

跟踪演练1 (1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )

A．48,49 C．75,76

B．62,63 D．84,85

(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．

答案 (1)D (2)503

503

603

解析 (1)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件． (2)按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2)块，第3个图有白色地砖(3×7－3)块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖

3