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《概率论与数理统计》习题及答案

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数

之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y 1 3 X 0 0 1 0 2 0 3 0 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y 0 1 2 X 0 0 0 P(0黑,2红,2白)= 1 0 2 3 0 3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22

?其他.?0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?【解】如图P{0???πππ?,?y??内的概率. 463?X?πππ,?Y?}公式(3.2) 463题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?

0,其他.?求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1） 由

??????????????f(x,y)dxdy??0?0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12得 A=12

（2） 由定义，有

(3) P{0?X?1,0?Y?2}

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f（x，y）=?

0,其他.?（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

故

R?18

（2） P{X?1,Y?3}?(3) (4)

??13????f(x,y)dydx

P{X?1.5}?x?1.5??f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy

D1P{X?Y?4}?X?Y?4??f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy

D2题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

?5e?5y,y?0,fY（y）=?

其他.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

题6图

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

而 所以 (2)

P(Y?X)?y?x??f(x,y)dxdy如图??25e?5ydxdy

D7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,F（x，y）=?

其他.?0,求（X，Y）的联合分布密度.

?2F(x,y)?8e?(4x?2y),x?0,y?0,??【解】f(x,y)?

?x?y0,其他.?8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=?求边缘概率密度. 【解】fX(x)??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,

其他.?0,?????f(x,y)dy

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?e?y,0?x?y,f（x，y）=?

0,其他.?求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

?cx2y,x2?y?1,f（x，y）=?

其他.?0,（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy

D得

c?21. 4(2) fX(x)??????f(x,y)dy

11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

?1,y?x,0?x?1,f（x，y）=?

0,其他.?求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题11图

【解】fX(x)?所以

12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？

【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y ?????f(x,y)dy

3 0 0 4 0 5 1 2 3 (2) 因P{X故X与Y不独立 Y X ?1}P{Y?3}?

6161????P{X?1,Y?3}, 10101001013.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 2 5 8