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上海市2017年中考数学压轴题专项训练

1.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）

如图，已知抛物线y?x2?bx?c经过A?0，?1?、B?4，?3?两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan?ABO的值；

（3）过点B作BC?x轴，垂足为点C，点M是抛物线上一点，直线MN平行于y轴交直线AB于点N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

1.解：（1）将A（0，-1）、B（4，-3）分别代入y?x?bx?c

得?2yoAB（第24题图） x?c??1,， ………………………………………………………………（1分）

?16?4b?c??39,c??1…………………………………………………………………(1分) 2

9所以抛物线的解析式为y?x2?x?1……………………………………………（1分）

2

（2）过点B作BC?x轴，垂足为C，过点A作AH?OB，垂足为点H ………（1分）

解，得b??4,……………………………（1分） 5

4322sin?AOH?，∴OH?,BH?OB?OH?∴AH?OAg， ………………（1分）

555AH4222???在Rt?ABH中，tan?ABO?………………………………（1分） BH5511

在Rt?AOH中，OA=1，sin?AOH?sin?OBC?1 x?1， ……………………………………………（1分）

291设点M的坐标为(m,m2?m?1)，点N坐标为(m,?m?1)

22(3)直线AB的解析式为y??那么MN=(m2?91 m?1)?(?m?1)?m2?4m； …………………………（1分）

22∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=BC=3

解方程m2?4m=3得m?2?7； ……………………………………………（1分） 解方程?m2?4m?3得m?1或m?3； ………………………………………（1分）

所以符合题意的点N有4个(2?7,7735?2),(2?7,??2),(1,?),(3,?) 2222 ……………………………………………………………………………………（1分）

2.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．

（1）如图1，当点E与点B重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直

线AB的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD；

A AB相交于点F，若CF?5，CD = 4，求BD的长． （3）记直线CE与直线EF6

D

B(E)

l

C

C

A

D B

（第25题图2）

E

l

（第25题图1）

2.解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为点F. ……………………………………………（1分） ∵∠AED=90°，∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD =45°，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AE=4，∴CF=2，BC=22，…………………………（1分） 又∵∠CBD=∠ABC=45°，CD⊥l，∴CD=2， …………………………………………（1分） ∴CD=CF=2，∴圆C与直线AB相切.……………………………………………………（1分） （2）证明：延长AC交直线l于点G． ………………………………………………（1分） ∵∠ACB = 90°，∠ABC =∠GBC，∴∠BAC =∠BGC．

∴AB = GB．…………………………………………………………………………………（1分） ∴AC = GC．…………………………………………………………………………………（1分） ∵AE⊥l，CD⊥l，∴AE∥CD．

∴

CDGC1??． …………………………………………………………………………（1分） AEGA2∴AE = 2CD． ………………………………………………………………………………（1分） （3）（I）如图1，当点E在DB延长线上时：

过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，则∠CBD =∠HCB． ∵∠ABC =∠CBD，∴∠ABC =∠HCB．∴CH = BH．………（1分） ∵∠ACB = 90°，∴∠ABC +∠BAC =∠HCB +∠HCA = 90°． ∴∠BAC =∠HCA．∴CH = AH = BH．

C F D B

E

（第25题图1）

A H G

l

CHCF5??． ∵CG∥l，∴

BEEF6设CH = 5x，则BE = 6x，AB = 10x．

在Rt△ABE中，AE?F

AB2?BE2?8x．

由（2）知AE = 2CD = 8，∴8x?8，得x?1． ∴CH = 5，BE = 6，AB = 10．

HGAH1??，∴HG=3．……………………（1分） BEAB2∴CG = CH + HG = 8．

∵CG∥l，∴

易证四边形CDEG是矩形，∴DE = CG = 8．

∴BD?DE?BE?2．…………………………………………（1分） （II）如图2，当点E在DB上时：

同理可得CH = 5，BE = 6，HG = 3．…………………………（1分） ∴DE?CG?CH?HG?2．

C

A G

H

l

D E B

（第25题图2）

∴BD=DE + BE = 8．…………………………………………………………………………（1分） 综上所述，BD的长为2或8．

3．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上． （1）求a的值及点B的坐标；

（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；

（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移． 【分析】（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．

（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题．

（3）先求出点A′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a=﹣， ∴抛物线为y=﹣x2， ∴x=﹣4时，y=﹣8， ∴点B坐标（﹣4，﹣8），

∴a=﹣，点B坐标（﹣4，﹣8）． （2）设直线AB为y=kx+b，则有

，解得

，

∴直线AB为y=x﹣4，

∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12，与y轴交于点P（0，﹣12）， 过点A垂直AB的直线为y=﹣x，与y轴交于点P′（0，0），

∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，﹣12）．

（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．

∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形， ∵AB=AA′=

=6

，

∴AE=A′E=6，

∴点A′坐标为（8，﹣8），

∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到， ∴抛物线y=﹣x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，﹣6）， ∴此时抛物线为y=﹣（x﹣6）2﹣6．

4．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在

点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．

（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；

（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；

（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．

【考点】三角形综合题． 【分析】（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用△ABH∽△DBF，得

=

，求出DF即可解决问题．

（2）先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形ADBE=BD?AH，计算即可．

（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．