内容发布更新时间 : 2024/4/28 0:13:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十讲 有趣的数阵图（二）

下面我们继续研究有关数阵图的问题.

例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.

分析 为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、?、F、G这7个数的全体恰好是1、2、?、6、7.

∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D. 3S=28+2B+A+C+D.

如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数

即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4 W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4， 综上所述，得出：

13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数.

本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、 F=6、 G=7.

注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数” S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）.

二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了.

解：

例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.

分析 观察右图，我们发现：

①有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等.

②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等.

③20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y，每条路上4个数之和为S，显然有： 3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13＋17+19 =2x+2y+77.

即S最小=29，此时x=2,y=3

但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17＞15，17无处填.

所以S=47是无法实现的.

这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然，其他路上为4个质数之和，2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加，另两条路上为4个奇相加，形成矛盾.

再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上2，终点放上另一个质数，其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算，只有终点放上3，而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）. 解：

这样，轻而举地可得到：5+19=24，7+17＝24，11+13=24.

例3 把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等. 分析和解 假设每边上的三数之和为

S，四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d，那么： a+c=b+d=（1+2+?+8）-2S=36-2S ∴2S＝36-（a+C）＝36-（b+d）

①若S=15，则a+c=b+d＝6，又1+5=2+4=6，试验可得下图