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天津市南开大学附中2019届高三上学期第二次月考
数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共40分）
1．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=( ) A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
考点：复数相等的充要条件． 专题：数系的扩充和复数．
分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．
解答： 解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，
故选：A．
点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
2．“a＞b”是“log3a＞log3b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：函数的性质及应用；简易逻辑．
分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义可得答案．
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解答： 解：“a＞b”?“a＞b”， “log3a＞log3b”?“a＞b＞0”，
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故“a＞b”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件， 故选：B
点评：判断充要条件的方法是：
①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
33
3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为( )
A．2 B．3
考点：简单线性规划．
C．4 D．5
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 解答： 解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣平移直线y=﹣
，
，由图象可知当直线y=﹣
经过点B（1，1）时，直线y=﹣
的截距最小，此
时z最小．
此时z的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
4．若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=( ) A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．10
考点：等比数列的性质；等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案． 解答： 解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，
∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b=9，
∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0）， ∴ab=15． 故选：A．
点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．
5．已知函数y=2sinx的定义域为，值域为，则b﹣a的值不可能是( ) A．
B．π
C．2π
D．
2
考点：三角函数的最值． 专题：计算题．
分析：结合三角函数R上的值域，当定义域为，值域为，可知小于一个周期，从而可得． 解答： 解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2 函数的周期T=2π
值域含最小值不含最大值，故定义域小于一个周期
b﹣a＜2π 故选C
点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域，而在区间上的值域，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．
6．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A．若m⊥α，n⊥m则n∥α B．若α⊥β，β⊥γ则α∥β C．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离．
分析：对选项逐一分析，根据空间线面关系，找出正确选项． 解答： 解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误； 对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；
对于C，根据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行； 对于D，α，β有可能相交． 故选C．
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7．已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=设an=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N），则数列{an}是( ) A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列
考点：等比关系的确定． 专题：计算题．
，
*
D．递减数列
分析：根据g（n）的通项公式可求得g（1），g（2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，┉，an进而发现数列{an}是等比数列
解答： 解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且 g（n）=
2
，
3
2
n
2
则g（1）=b+1，g（2）=b+b+1，g（3）=b+b+b+1，┉，g（n）=b+┉+b+b+1．
23n
a1=b，a2=b，a3=b，┉，an=b 故数列{an}是等比数列
点评：本题主要考查等比关系的确定．属基础题．
8．在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD是正三角形，则
?
的值为( )