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新高考数学：冲破压轴题讲与练

第三章 解析几何

专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题

【压轴综述】

圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法

(1)两种类型

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题． (2)两种解法

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.

【压轴典例】

x2y2例1.（2019·湖南高三月考）点A、B为椭圆E:2?2?1?a?b?0?长轴的端点，C、D为椭圆E短轴

ab的端点，动点M满足率为（ ）

MAMB?2，若?MAB面积的最大值为8，?MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心

1

A.2 3B.3 3C.2 2D.3 2【答案】D 【解析】

设A??a,0?，B?a,0?，M?x,y?.

25a16a??222?2，则?x?a??y?2?x?a??y，化简得?x???y?. ∵动点M满足

MB3?9?MA222∵?MAB面积的最大值为8，?MCD面积的最小值为1， ∴

14116?2a?a?8，?2b?a?1，解得a?6，b?， 23232b23. ∴椭圆的离心率为1??a22故选D.

例2.（2019·山东高考模拟（理））已知A(0,3)，若点P是抛物线x?8y上任意一点，点Q是圆

22|PA|x2?(y?2)2?1上任意一点，则的最小值为（ ）

PQA．43?4 【答案】A 【解析】 设点

B．22?1 C．23?2 D．42?1

，由于点P是抛物线

2上任意一点，则x02?8y0(y0?0)，

Q点A(0,3)，则PA?x02?(y0?3)2?8y0?(y0?3)2?y02?2y0?9，

|PA|2由于点Q是圆x?(y?2)?1上任意一点，所以要使的值最小，则PQ的值要最大，即点P到圆

PQ22心的距离加上圆的半径为PQ的最大值，则

PQmax?x02?(y0?2)2?1?8y0?(y0?2)2?1?y0?3 ，

|PA|2y02?2y0?9(y0?3)2?4(y0?3)?1212???(y0?3)??4， ?PQy0?3y0?3y0?3

2

Q (y0?3)?1212?2(y0?3)??43，经检验满足条件， y0?3(y0?3)|PA|2?的最小值为43?4，

PQ故答案选A.

x2y2例3.（2019·江西临川一中高三月考（文））已知点P是椭圆??1上非顶点的动点，F1,F2分别是椭

168uuuuruuuuruuur?FPFOM圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M为，则的取值范12的平分线上一点，且F1M?MP?0围为（ ） A．?0,3? 【答案】D 【解析】

如图所示，不妨设点P在y轴右边，因为M为?F1PF2的平分线上一点，且F1M?MP?0，所以PM为F1N的垂直平分线，故PF1?PN，由中位线定理可得OM?B．0,22?

??C．?0,3?

D．0,22

??uuuuruuur1F2N. 2PF2?a?ex0，?F2N?PF1?PF2?2ex0，故设点P?x0,y0?，由焦半径公式得，PF1?a?ex0，

uuuurOM?ex0，因为a?4,c?22，所以e?2， 2uuuurx0??0,4?，?OM?ex0?0,22，故选D.

??

?11??39?-，，B例4. （2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线x?y.点A???，?，抛物线上的点P（x,y）?24??24?2 3