内容发布更新时间 : 2024/5/18 8:11:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第2节 导数与函数的单调性

考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.

知 识 梳 理

1.函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)在某个区间内可导，

(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增； (2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；

(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间. 3.已知单调性求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；

(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，

b)上为常数函数，舍去此参数值.

[常用结论与易错提醒]

(1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数.

(2)有些初等函数(如f(x)＝x＋x)的单调性问题也不必用导数.

(3)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解，注意检验等号. (4)注意函数、导函数的定义域.

基 础 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

3

(1)若可导函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( ) 解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0. (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)√ (3)×

2.函数f(x)＝e－x的单调递增区间是( ) A.(－∞，1] C.(－∞，0]

xxB.[1，＋∞) D.(0，＋∞)

解析 令f′(x)＝e－1>0得x>0，所以f(x)的递增区间为(0，＋∞). 答案 D

3.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合. 答案 D

4.(2019·镇海中学月考)函数f(x)＝x－ln x的单调减区间为________.

1x－1x－1解析 ∵f(x)＝x－ln x，∴f′(x)＝1－＝，∵x>0，∴当x∈(0，1)时，f′(x)＝

xxx<0即函数f(x)＝x－ln x的单调减区间为(0，1). 答案 (0，1)

ln x5.若f(x)＝，0＜a＜b＜e，则f(a)与f(b)的大小关系为________.

x1－ln x解析 f′(x)＝，当0＜x＜e时，1－ln x＞0， 2

x即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上单调递增， ∴f(a)＜f(b).

答案 f(a)＜f(b)

e

6.函数f(x)＝的单调递增区间为________；单调递减区间为________.

xxe（x－1）

解析 函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1，f(x)的单2

xx调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)<0，得x<1且x≠0，f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，1).

答案 (1，＋∞) (－∞，0)和(0，1)

考点一 求不含参数的函数的单调性

?132?x【例1】 已知f(x)＝?x＋x?e，讨论f(x)的单调性.

?2??32?x?132?x解 由题意得f′(x)＝?x＋2x?e＋?x＋x?e

?2??2??1352?x＝?x＋x＋2x?e

2?2?

1x＝x(x＋1)(x＋4)e. 2令f′(x)＝0，

解得x＝0，x＝－1或x＝－4.

当x<－4时，f′(x)<0，故f(x)为减函数； 当－40，故f(x)为增函数； 当－10时，f′(x)>0，故f(x)为增函数.

综上知，f(x)在(－∞，－4)和(－1，0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数. 规律方法 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 12

【训练1】 (1)函数y＝x－ln x的单调递减区间为( )

2A.(－1，1) C.(1，＋∞)

B.(0，1) D.(0，＋∞)