内容发布更新时间 : 2024/6/7 16:06:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

从代数观点出发推得其相对应系数也应该相等，即从函数论观点得证；反之，若从函数论观点出发，将两函数相减所得为一个次数不超过这两个函数次数n的多项式，因此它至多在F内有n个根，由已知数域F含有无穷多个元素，f(x)-g(x)有无限多个根，与前面至多在F内有n个根矛盾，因此f(x)-g(x)的系数必须全为0，因此其相对应系数都相等。

20、若数域F只有P个元素，则从分析观点出发F上的多项式只有有限个。 域F上的任意一个多项式都是F上的函数，如果能证明F上的不同函数最多有有限个即可。设f(x)为F上的函数，F={a1,a2,...,ap}，这时f(a1)就有p种选择, f(a2)也有p种选择，…，f(ap)也有p种选择。所以F上的不同函数共有pp个，为有限个。

21、在Z3=,,中，存在一个多项式f(x)使得f()=，f()=。 -3| a∈Z b∈Z}中，2是不可约元素，但不是素元素，且R是 例如（x-）(x-1)

22、在剩余类环Z12中，（x-）(x-)=的根为2,3,6,11。

将Z12中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。 23、在Z8中, x-=共有四个根：1,3,5,7。

将Z8中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。 24、在剩余类环Z16中x-1=0的根为：1,7,9,15。

将Z16中的元素分别带入上述方程式，使得方程式成立的即为上述方程的根。 25、若环R={k| m∈Z，k∈Z}，则R是整环，且R中的所有可逆元素和不可约2m2_________2____ 元素分别为：±2n和±2np，其中p为奇素数。

根据定义易证R是整环，R中的所有可逆元素和不可约元素分别为：±2n和±2np，其中p为奇素数。 26、整数环是主理想环。 根据定义易证上面叙述成立。

27、存在这样的一个整环：在这个环中因式分解不是唯一的，且可以找出一个是不可约元素而不是素元素的元素。

在环R={a+b-3| a∈Z b∈Z}中，2是不可约元素，但不是素元素 28、若R是因式分解唯一环，则下面两式成立： （1）、((a,b),c) ~ (a,(b,c)) （2）、(ab, ac) ~ a(b,c) 根据相伴的定义易证 第四章 排列与组合 主要内容：

1、初等排列与组合

2、排列与组合模型公式 3、筛法原理

4、筛法原理应用

5、递推公式与筛法原理初等证明 6、拉姆斯定理 重点掌握：

1、(x+y+z)10展开后合并同类项共有66项。

展开后每一项都是10次多项式，它的不同项实际上是从3个元素x,y,z中取10个元素（允许重复取）的方法数，即n个元素取r个元素（可重复取）的 r组合数Cn） +r-1。

rr-1r2、Cn-1+Cn-1=Cn 。

m3、x1+x2+……+xn=m的非负整数解的个数为Cn+m-1。

m上述方程解的个数就是n个元素取m个元素（可重复取）的组合数Cn+m-1。 4、x1+x2+x3=10方程的非负整数解的个数为66。

m上述方程解的个数就是n个元素取m个元素（可重复取）的组合数Cn+m-1。 5、n个数码的扰乱排列总数为：n![1-11111+-+-...=(-1)n]。 1!2!3!4!n! 11111利用公式：D(n)=n![1-+-+-...+(-1)n] 1!2!3!4!n! 7、5个人收5封信谁也不收自己的信共有44种方法. 即求

D(n)=n![1-5个数码的扰乱排列总数,利用公式11111+-+-...+(-1)n] 1!2!3!4!n! n+18、从n 个元素中取n+1个元素（允许重复取）有C2n种方法。 rn个元素取r个元素（可重复取）的组合数Cn+r-1

539、多项式(x1+x2+x3+x4)12展开合并同类项后（1）共有455项（2）x14x2x3的

系数为27720。

（1） 展开后每一项都是12次多项式，它的不同项实际上是从4个元素

（允许重复取）的方法数，即n个元素取r个元素（可x1,x2,x3,x4中取12个元素

r重复取）的组合数Cn+r-1。

（2） 如果S中含有r1个相同的b1；r2个相同的b2；…rk个相同的bk，且r1+r2+...+rk=n，则S中的全排列个数为n!。 r1!r2!...rk!

10、展开多项式后合并同类项(x+y+z+t)12共有455项，x2y3t7的系数为7920。 (1)展开后每一项都是12次多项式，它的不同项实际上是从4个元素x,y,z,t中取12个元素（允许重复取）的方法数，即n个元素取r个元素（可重复取） r的组合数Cn+r-1。

(2)如果S中含有r1个相同的b1；r2个相同的b2；…rk个相同的bk，且r1+r2+...+rk=n，则S中的全排列个数为n!。 r1!r2!...rk!

11、上11阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有144种不同的方法。

可将上台阶的方法分为上11阶，其中每步都迈1阶，共迈10步；只有一步迈2阶，其余9步迈1阶；只有两步迈2阶，其余迈1阶；…；只有五步迈2阶。分别计算这几种方式分别有几种不同的方法，将结果加起来即可，因此所有 12345的方法加起来为1+C10。 +C9+C8+C7+C6

12、上12阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有233种不同的方法 012356方法同上11题，结果为：C12。 +C11+C10+C9+C84+C7+C6 13、n对夫妻一起跳舞，则刚好有k对夫妻为舞伴的方法有

11111k(n-k)![1-+-+-...+(-1)n-k]种 Cn1!2!3!4!(n-k)!

应为：k对夫妻为舞伴，剩余n-k对夫妻为扰乱排列的总数。

14、从8个数字中取3个数字，但不准取连续两个数字的方法有16种（其中1和8这两个数字也算连续数字）。 利用公式g(n,k)=nkCn-k，其中，g(n,k)表示从n个数码中取k个数码，n-k

但不允许取连续两个数码（1和n算连续数码）的方法数。

15、从10个数码中取出2个数码，但不准取连续2个数码，其中1和10也是连续数码，共有35种方法。 方法同上题14。

16、从不大于100的正整数中，能被2，或3，或5整除的自然数共有74个。 利用容斥原理，设Ak表示能被k整除而不大于100的自然数集合，则所求即为|A2UA3UA5|，结果为50+33+20-16-10-6+3

17、在1----200的整数中，能被2或者3或者7整除的整数个数为：142。

方法同上题16，利用容斥原理，设Ak表示能被k整除而不大于200的自然数集合，则所求即为|A2 A3 A7|，结果为100+66+28-33-14-9+4。

18、从1----1000整数中求能被2，或者3或者7整除的整数个数为714。

方法同上题16，利用容斥原理，设Ak表示能被k整除而不大于1000的自然数集合，则所求即为|A2 A3 A7|，结果为500+333+142-166-71-47+23。

19、求出1---10000中，能被3，或5，或7整除的自然数共有5429个 。

方法同上题16，利用容斥原理，设Ak表示能被k整除而不大于10000的自然数集合，则所求即为|A3 A5 A7|，结果为3333+2000+1428-666-476-285+95。 knnnrcn+cn+1+cn+2+...+cn+m=cn+r-1 ∑kc k=1

nnkn=n2n-1 ∑(-1)cc

k=rkrkkn2n=0+cn+...+(-1)ncn=0

nnnn+1cr+cn+1+cn+2+...+cn+m=cn+m+1 N(0)=4!(1-1+111++)=9 2!3!4! =

ni rin-ri =

(n-1)!n (r-1)!n-r-1!n-rr 02nncn+c1 n+cn+...+cn=2

?1(n-1)!1? =?+?(r-1)!n-r-1!?rn-r? 3

＋β＋β＋＋ββ＋β＋βnγγnγγnγγnγnγα

≠）≠＋b ＋b22+……＋bn xnānxnn ānxnānxnān f（x?? ? ?? ?

P a1a2...an an,an-1...an an,an-1...a n ai∈

4 4 3 n 3 4 n 3 4 n 3 4 n 2 31111 1 3 4 n 2 4 n 2 3 4 n 2 3 4 n 2 3 4 n 4 n 1 2 3n n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 、、……、a 2、……

（+2++……+anbn)2≤（……+）（b1、b2、……bn） 、

∈????a∈a∈AAa∈Aa∈Aa∈Aa∈AVVVV??????（A∪B） （A∪C） ⊿A→A→≠≠≠≠≠???????⊿⊿⊿⊿⊿ΦΦΦΦΦΦΦΦ｛｝ρ（A）ρ（A）ρ（A）ρ（A）∣∣∪∪∪∪∪∪ ∈∈∈ 11 =（x－1） xx-1

11f（x）=x f（x）=（x－1） xx-1a，，ī，f（）=ō2+ō=ō，，f（x）=x

a 0＋a1b ＋a2b2+……＋an bn=0????VVVV??????（A∪B） （A∪C） ⊿⊿⊿A→A→A→A→1≠≠≠≠????????⊿⊿⊿⊿⊿⊿ n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)+22+……+n2= =12+22+……66

n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)+n2=12+22+……+n2=12+22+……66

n(n+1)(2n+1)+n2=ΦΦΦΦΦΦΦΦ｛｝ρ（A）ρ（A）ρ（A）ρ（A）∣∣6

∣∣∣∣∣∪∣∣∣∪∣∣∣∣∪∪∪∪∪∪ ∈∈∈∈b≥a nkn(n+1)cn-k +1 n-k2 b≥ab≥ab≥a f′f′