内容发布更新时间 : 2024/12/24 10:15:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
从代数观点出发推得其相对应系数也应该相等,即从函数论观点得证;反之,若从函数论观点出发,将两函数相减所得为一个次数不超过这两个函数次数n的多项式,因此它至多在F内有n个根,由已知数域F含有无穷多个元素,f(x)-g(x)有无限多个根,与前面至多在F内有n个根矛盾,因此f(x)-g(x)的系数必须全为0,因此其相对应系数都相等。
20、若数域F只有P个元素,则从分析观点出发F上的多项式只有有限个。 域F上的任意一个多项式都是F上的函数,如果能证明F上的不同函数最多有有限个即可。设f(x)为F上的函数,F={a1,a2,...,ap},这时f(a1)就有p种选择, f(a2)也有p种选择,…,f(ap)也有p种选择。所以F上的不同函数共有pp个,为有限个。
21、在Z3=,,中,存在一个多项式f(x)使得f()=,f()=。 -3| a∈Z b∈Z}中,2是不可约元素,但不是素元素,且R是 例如(x-)(x-1)
22、在剩余类环Z12中,(x-)(x-)=的根为2,3,6,11。
将Z12中的元素分别带入上述方程式,使得方程式成立的即为上述方程的根。 23、在Z8中, x-=共有四个根:1,3,5,7。
将Z8中的元素分别带入上述方程式,使得方程式成立的即为上述方程的根。 24、在剩余类环Z16中x-1=0的根为:1,7,9,15。
将Z16中的元素分别带入上述方程式,使得方程式成立的即为上述方程的根。 25、若环R={k| m∈Z,k∈Z},则R是整环,且R中的所有可逆元素和不可约2m2_________2____ 元素分别为:±2n和±2np,其中p为奇素数。
根据定义易证R是整环,R中的所有可逆元素和不可约元素分别为:±2n和±2np,其中p为奇素数。 26、整数环是主理想环。 根据定义易证上面叙述成立。
27、存在这样的一个整环:在这个环中因式分解不是唯一的,且可以找出一个是不可约元素而不是素元素的元素。
在环R={a+b-3| a∈Z b∈Z}中,2是不可约元素,但不是素元素 28、若R是因式分解唯一环,则下面两式成立: (1)、((a,b),c) ~ (a,(b,c)) (2)、(ab, ac) ~ a(b,c) 根据相伴的定义易证 第四章 排列与组合 主要内容:
1、初等排列与组合
2、排列与组合模型公式 3、筛法原理
4、筛法原理应用
5、递推公式与筛法原理初等证明 6、拉姆斯定理 重点掌握:
1、(x+y+z)10展开后合并同类项共有66项。
展开后每一项都是10次多项式,它的不同项实际上是从3个元素x,y,z中取10个元素(允许重复取)的方法数,即n个元素取r个元素(可重复取)的 r组合数Cn) +r-1。
rr-1r2、Cn-1+Cn-1=Cn 。
m3、x1+x2+……+xn=m的非负整数解的个数为Cn+m-1。
m上述方程解的个数就是n个元素取m个元素(可重复取)的组合数Cn+m-1。 4、x1+x2+x3=10方程的非负整数解的个数为66。
m上述方程解的个数就是n个元素取m个元素(可重复取)的组合数Cn+m-1。 5、n个数码的扰乱排列总数为:n![1-11111+-+-...=(-1)n]。 1!2!3!4!n! 11111利用公式:D(n)=n![1-+-+-...+(-1)n] 1!2!3!4!n! 7、5个人收5封信谁也不收自己的信共有44种方法. 即求
D(n)=n![1-5个数码的扰乱排列总数,利用公式11111+-+-...+(-1)n] 1!2!3!4!n! n+18、从n 个元素中取n+1个元素(允许重复取)有C2n种方法。 rn个元素取r个元素(可重复取)的组合数Cn+r-1
539、多项式(x1+x2+x3+x4)12展开合并同类项后(1)共有455项(2)x14x2x3的
系数为27720。
(1) 展开后每一项都是12次多项式,它的不同项实际上是从4个元素
(允许重复取)的方法数,即n个元素取r个元素(可x1,x2,x3,x4中取12个元素
r重复取)的组合数Cn+r-1。
(2) 如果S中含有r1个相同的b1;r2个相同的b2;…rk个相同的bk,且r1+r2+...+rk=n,则S中的全排列个数为n!。 r1!r2!...rk!
10、展开多项式后合并同类项(x+y+z+t)12共有455项,x2y3t7的系数为7920。 (1)展开后每一项都是12次多项式,它的不同项实际上是从4个元素x,y,z,t中取12个元素(允许重复取)的方法数,即n个元素取r个元素(可重复取) r的组合数Cn+r-1。
(2)如果S中含有r1个相同的b1;r2个相同的b2;…rk个相同的bk,且r1+r2+...+rk=n,则S中的全排列个数为n!。 r1!r2!...rk!
11、上11阶台阶,每次可上一阶或二阶,共有144种不同的方法。
可将上台阶的方法分为上11阶,其中每步都迈1阶,共迈10步;只有一步迈2阶,其余9步迈1阶;只有两步迈2阶,其余迈1阶;…;只有五步迈2阶。分别计算这几种方式分别有几种不同的方法,将结果加起来即可,因此所有 12345的方法加起来为1+C10。 +C9+C8+C7+C6
12、上12阶台阶,每次可上一阶或二阶,共有233种不同的方法 012356方法同上11题,结果为:C12。 +C11+C10+C9+C84+C7+C6 13、n对夫妻一起跳舞,则刚好有k对夫妻为舞伴的方法有
11111k(n-k)![1-+-+-...+(-1)n-k]种 Cn1!2!3!4!(n-k)!
应为:k对夫妻为舞伴,剩余n-k对夫妻为扰乱排列的总数。
14、从8个数字中取3个数字,但不准取连续两个数字的方法有16种(其中1和8这两个数字也算连续数字)。 利用公式g(n,k)=nkCn-k,其中,g(n,k)表示从n个数码中取k个数码,n-k
但不允许取连续两个数码(1和n算连续数码)的方法数。
15、从10个数码中取出2个数码,但不准取连续2个数码,其中1和10也是连续数码,共有35种方法。 方法同上题14。
16、从不大于100的正整数中,能被2,或3,或5整除的自然数共有74个。 利用容斥原理,设Ak表示能被k整除而不大于100的自然数集合,则所求即为|A2UA3UA5|,结果为50+33+20-16-10-6+3
17、在1----200的整数中,能被2或者3或者7整除的整数个数为:142。
方法同上题16,利用容斥原理,设Ak表示能被k整除而不大于200的自然数集合,则所求即为|A2 A3 A7|,结果为100+66+28-33-14-9+4。
18、从1----1000整数中求能被2,或者3或者7整除的整数个数为714。
方法同上题16,利用容斥原理,设Ak表示能被k整除而不大于1000的自然数集合,则所求即为|A2 A3 A7|,结果为500+333+142-166-71-47+23。
19、求出1---10000中,能被3,或5,或7整除的自然数共有5429个 。
方法同上题16,利用容斥原理,设Ak表示能被k整除而不大于10000的自然数集合,则所求即为|A3 A5 A7|,结果为3333+2000+1428-666-476-285+95。 knnnrcn+cn+1+cn+2+...+cn+m=cn+r-1 ∑kc k=1
nnkn=n2n-1 ∑(-1)cc
k=rkrkkn2n=0+cn+...+(-1)ncn=0
nnnn+1cr+cn+1+cn+2+...+cn+m=cn+m+1 N(0)=4!(1-1+111++)=9 2!3!4! =
ni rin-ri =
(n-1)!n (r-1)!n-r-1!n-rr 02nncn+c1 n+cn+...+cn=2
?1(n-1)!1? =?+?(r-1)!n-r-1!?rn-r? 3
+β+β++ββ+β+βnγγnγγnγγnγnγα
≠)≠+b +b22+……+bn xnānxnn ānxnānxnān f(x?? ? ?? ?
P a1a2...an an,an-1...an an,an-1...a n ai∈
4 4 3 n 3 4 n 3 4 n 3 4 n 2 31111 1 3 4 n 2 4 n 2 3 4 n 2 3 4 n 2 3 4 n 4 n 1 2 3n n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 1 2 3 4 、、……、a 2、……
(+2++……+anbn)2≤(……+)(b1、b2、……bn) 、
∈????a∈a∈AAa∈Aa∈Aa∈Aa∈AVVVV??????(A∪B) (A∪C) ⊿A→A→≠≠≠≠≠???????⊿⊿⊿⊿⊿ΦΦΦΦΦΦΦΦ{}ρ(A)ρ(A)ρ(A)ρ(A)∣∣∪∪∪∪∪∪ ∈∈∈ 11 =(x-1) xx-1
11f(x)=x f(x)=(x-1) xx-1a,,ī,f()=ō2+ō=ō,,f(x)=x
a 0+a1b +a2b2+……+an bn=0????VVVV??????(A∪B) (A∪C) ⊿⊿⊿A→A→A→A→1≠≠≠≠????????⊿⊿⊿⊿⊿⊿ n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)+22+……+n2= =12+22+……66
n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)+n2=12+22+……+n2=12+22+……66
n(n+1)(2n+1)+n2=ΦΦΦΦΦΦΦΦ{}ρ(A)ρ(A)ρ(A)ρ(A)∣∣6
∣∣∣∣∣∪∣∣∣∪∣∣∣∣∪∪∪∪∪∪ ∈∈∈∈b≥a nkn(n+1)cn-k +1 n-k2 b≥ab≥ab≥a f′f′