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基于有限差分法的微分方程离散化求解

作者：白红杰 白阳椿 韩自源 来源：《商情》2011年第31期

【摘要】 目前偏微分方程数值求解的方法主要有两种，即有限差分法和有限元方法。本文论述了基于有限差分法的微分方程求解，离散化过程，并对结果进行了分析。 【关键词】 有限差分法 离散化 数值模拟 1.前言

有限差分法是计算机数值模拟最早采用比较成熟的方法，该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表述简单。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内必改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

用有限差分法求解偏微分方程必须把连续问题进行离散化，为此首先要对求解区域进行离散化。构造离散网格系统的目的在于将表现为非均系统的大尺度用若干可以近似为均匀系统的尺度（如网格）表征。构造差分形式就是对参数在一定的离散点中心网格或块中心网格上离散。其中，离散网格可以是空间离散网格，也可以是时间离散网格（即离散时间步长）。平面网格的形式是多种多样的，如矩形网格、柱形网格、多边形网格等。空间离散网格是和边界条件相关联的，一般来说，对于第一类边界条件采用点中心网格较方便，第二、三类边界条件采用块中心网格比较合适。 2.微分方程的离散化 2.1一阶偏导数的差商逼近

设有函数u(x,y,t)，对其自变量x的偏导数可以表示成函数的差商的极限形式 （1）

在⑴式中，当自变量增量充分小时，如果能用比较简单的函数差商来代替偏导数，即

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（2）

这样就可以把偏微分方程用差分方程代替，从而把难于求解的偏微分方程化成代数方程组。利用Taylor级数可以说用(2)形式的差商来逼近一阶偏听偏信导数，其误差对Δx来说是一阶的。式(2)是用前差商来代替一阶偏导数即 （3）

同理，后差商也可以用来代替一阶偏导数，且其误差也为ο（Δx）。类似地，还可以用中心差商 （4）

来代替偏导数 。经证明，用中心差商代替一阶偏导数，其误差为ο（Δx2）。这就意味着用中心差商来逼近偏导数，当Δx非常小时，是一种比前两种差商逼近更为精确的方法。但是，在具体求解一个微分方程时，不仅要考虑差商对导数的逼近精度，更主要的是把差分方程作为一个整体考虑。因此，油藏数值模拟中也不总是用它来逼近一阶导数。 2.2二阶偏导数的差分逼近

在渗流微分方程中，除含有求知函数的一阶偏导数外，还含有未知函数的二阶偏导数。二阶偏导数 相当于对函数一阶偏导数 。

在x轴上取三点：x-Δx、x、x+Δx，如图1所示。令

将 在点x处展开为中心差商 （5）

再将 分别在x-Δx/2,x+Δx/2处展成一阶中心差商，得 （6）

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（7）

将式（6）、（7）代入（5）得 （8）

式（8）即是以二阶差商来代替二阶偏导数的公式，这种形成的差商称为二阶中心差商。 2.3抛物型方程的离散化方法

在各类低渗透介质渗流问题中，大多属于不稳定渗流，描述这类渗流问题的数学方程不仅含有未知量对空间坐标的偏导数，而且含有各变量对时间坐标的偏导数。这类方程在数学上属抛物型方程。对这类问题求解时，不仅要求出各变量在空间的分布状态，而且还要求出这种分布在时间区域上的变化情况。对数值解法来说，就是要求出各变量在不同时刻在各空间点上的数值分布。

因为这类方程所描述的是不稳定渗流过程，所以方程中的各个变量都是随时间而变的，而空间差分项本身并没有指明它应该在什么时间点上取值，因此对应于不同的时间取值方法就可以得到不同形式的差分方程。更主要的是，由于求解这类问题时得到的是一系列时间点上的参数分布，后一个时间点上的结果依赖于前一个时间点的结果，这就产生了求解误差在时间坐标上的传播与变化的问题，即所谓的解的稳定性问题。 取最简单的一维方程进行讨论： （9） 其初始条件为 边界条件为

式（9）左端是对空间坐标的偏导数，右端是对时间坐标的偏导数。为了对时间的偏导数离散化，取时间坐标上两个时刻的步长为Δt。对方程⑼的右端以任意时刻tn的后差商进行近似，在任意点xi得到 (10)

整理(10)式，得