内容发布更新时间 : 2024/10/16 20:23:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

反证法证明多项式不可约

在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．

例1 已知p(x)是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式f(x)和

g(x)，由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，则p(x)是不可约多

项式．

证明 假设p(x)可约，则必存在次数小于?(p(x))的多项式f(x)与g(x)，使得p(x)?f(x)g(x)，即p(x)|f(x)g(x)，又由已知条件，知p(x)|f(x)，p(x)|g(x)，但?(f(x))??(p(x))，?(g(x))??(p(x))，所以不可能实现，从而p(x)必不为可约多项式．

例2 次数大于1的整系数多项式f(x)对于任意整数的函数值都是素数，则

f(x)为有理数域Q上的不可约多项式．

证明 假设f(x)不是有理数域Q上的不可约多项式，因为?(f(x))?1，所以f(x)在整数环Z上也可约，即有整系数多项式f1(x)与f2(x)，使得

f(x)?f1(x)f2(x)，其中?(fi(x))??(f(x))，i?1,2．

由已知条件知，若a为一个整数，则f(a)为素数，即f(a)?f1(a)f2(a)为素数，所以f1(a)??1或f2(a)??1，再由a的无限性，知f1(a)?1，f1(a)??1或

f2(a)?1，f2(a)??1四个式子中至少有一个式子对无限个a成立，即f1(x)与f2(x)中有一个为零次多项式，这与已知条件矛盾，所以结论成立．

例3 设f(x)?anxn?an?1xn?1???a0是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得

（1）p?|an；

（2）p|an?1,an?2,?,a0；

（3）p2?|a0，

那么f(x)在有理数域上是不可约的．

证明 假设f(x)在有理数域上可约，那么f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，即

f(x)?(blxl?bl?1xl?1???b0)(cmxm?cm?1xm?1???c0)(l?n,m?n,l?m?n)，

因此an?blcm，a0?b0c0．

因为p|a0，所以p能整除b0或c0．又因为p2?|a0，所以p不能同时整除b0及c0，因此不妨假定p|b0，但p?|bl．假设|an，所以p?|c0．另一方面，因为p?在b0,b1,?,bl中第一个不能被p整除的是bk，比较f(x)中xk的系数，得等式

ak?bkc0?bk?1c1???b0ck，

式中ak,bk?1,?,b0都能被p整除，所以bkc0也必能被p整除，但因p是一个素数，所以bk与c0中至少有一个被p整除，这是一个矛盾，故f(x)在有理数域上是不可约的．

对于一些关于不可约多项式定理的逆定理，均可尝试用反证法来证明，在否定结论之后，利用已知条件推出了矛盾，从而使命题得证．