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反馈控制实现Ｌｏｒｅｎｚ系统混沌同步
作者：赵丹青
来源：《电脑知识与技术》2009年第04期
摘要：该文对Lorenz混沌系统的同步问题进行了理论分析，并进行线性反馈控制设计，基于Lyapunov函数提出了反馈控制同步规则，仿真结果证实了规则的可行性及有效性。 关键词： Lorenz混沌系统；线性反馈；同步
中图分类号：O415文献标识码：A文章编号：1009-3044(2009)04-0950-04 A Feedback Approach to the Control and Synchronization of Lorenz System ZHAO Dan-qing
(Center of Computing and Experimenting, SCUFN, Wuhan 430074, China)
Abstract: In this paper the synchronization problem of Lorenz chaotic system is studied.Two Linear feedback control rules are derived based on Lyapunov functions. Simulation results show the effectiveness of these rules.
Key words: lorenz chaotic system; linear feedback; synchronization 1 引言
混沌现象是当前非线性科学及其交叉领域的一个重要课程和热点。由于混沌信号具有复杂的、不可预测及对初始条件及其系统参数变化的高度敏感性的行为特性，而且有实现同步的可能性，因此在通信领域中具有广阔的应用前景。混沌同步是实现混沌通信的关键。近年来，混沌同步控制方法不断涌现，出现了各种实现混沌信号同步控制的机理和方法[1-4]。
Lorenz系统是一种典型的混沌系统，具有混沌系统的很多特征，它主要由三个非线性微分方程组成。 ■ （1）
在（1）式中，x，y，z是状态变量，σ>0，ρ>0，β>0是参数。当σ=10，ρ=28，β=8/3时呈现混沌态（其混沌行为如图1所示）。
本文以Lorenz系统为例，针对混沌同步问题进行分析，利用反馈控制的思想，提出了两种同步控制规则，并进行了仿真验证。
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2 混沌同步的定义及反馈控制思想 2.1 混沌同步的定义
考虑如下两个非线性动力系统： ■
其中x,y∈Rn分别为系统的状态变量，F，F'：[R+×Rn]->Rn为非线性映射，U：[R+×Rn×Rn]->Rn为同步控制量，R+为非负实数集。
如果存在：■成立，则系统（1b）和系统（1a）同步，称系统（1a）为驱动系统，系统（1b）为响应系统，D(t0)为同步区域。 2.2 反馈控制思想
考虑非线性自治系统■=f(x),式中■ 选取Lyapunov函数V≥0,如果存在反馈控制μ=g(x)，使■≤0，等号当且仅当xi=0时成立，那么原非自治系统零解渐近稳定。本文利用这一思想提出和证明了Lorenz系统线性反馈实现同步的两种控制规则。 3 线性反馈实现同步 3.1 反馈控制规则Ⅰ
设Lorenz系统（1）为驱动系统，响应系统为： ■ （2）
则由式（1），式（2）得受控误差系统为： ■ （3）
设受控响应系统与驱动系统间的状态误差为ex=■-x,ey=■-y，ez=■-z则受控误差系统可写为： ■（4）
显然，若误差系统（4）的零解渐近稳定，则（1），（2）系统同步。 选取正定Lyapunov函数为■ 则■ ，将（4）式代入得：
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■（5）
为分析问题的简单化，希望在计算过程中不出现eyez项，则可设控制规则为： ■ （6）
其中σk1, σk2, σk3,k4,k5,k6,k7均为反馈系数，将（6）代入到（5）中得： ■
其中，e=[exeyez]T, ■
要使（4）式零解渐近稳定，要求■负定，即要求P正定，则要求下面三个不等式成立： ■ （7）
由于z，y皆为状态变量，其变化规律具有不确定性，因此参数k2,k5,k3,k7也具有不确定性，此处不防令k2+k5=1+ρ，k3=k7=0，则控制规则（6）简化为： ■ （8）
且不等式组（7）简化为： ■ （9）
由于混沌轨迹相平面的有界性，设Mly>|y|, Mlz>|z|,常数Mly和Mlz总是存在的。故不等式组（9）成立的充分条件为： ■ （10）
为了便于讨论，设定k6=-β+1,则不等式组(10)又可简化为： ■ （11）
由1+k1>0,■，可知，1+k4>0，由σ>0,Mlz>0,故1+σ+Mlz>0 令 ■（12） 令 ■（13）