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华东师范大学2004数学分析

一、（30分）计算题。

x2x2) 1、求lim(cosx?x?022、若y?e?ln21x?xsin(arctanx)),求y'.

xe?x3、求?dx. 2(1?x)4、求幂级数

?nxn?1?n的和函数f(x).

5、L为过O(0,0)和A(?2,0)的曲线y?asinx(a?0),求?(x?y3)dx?(2?y)dy.

Ly?asinx,dy?dasinx?acosxdx

6、求曲面积分

??(2x?z)dydz?zdxdy,其中z?xS2?y2,(0?z?1),取上侧.

.

二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）

1、若{xn,n?1,2,?,}是互不相等的非无穷大数列，则{xn}至少存在一个聚点

x0?(??,??).

2、若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续.

11nii?1)??f(x)g(x)dx. 3、若f(x),g(x)在[0,1]上可积，则lim?f()g(0n??nnni?1??4、若

?an?1n收敛，则

?an?12n收敛.

25、若在R上定义的函数f(x,y)存在偏导数fx(x,y),fy(x,y) 且fx(x,y),fy(x,y)在

(0,0)上连续，则f(x,y)在(0,0)上可微. 6、f(x,y)在R2222上连续,Dr(x0,y0)?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r} 若

?(x0,y0),?r?0,??f(x,y)dxdy?0, 则f(x,y)?0,(x,y)?R2.

Dr三、（15分）函数f(x)在(??,??).上连续，且limf(x)?A, 求证：f(x)在(??,??).上

x??有最大值或最小值。

四、（15分）求证不等式:2?1?x,x?[0,1]. 五、设fn(x),

x2n?1,2,?在[a,b]上连续,且fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).若

?x?[a,b],f(x)?0.求证:?N,??0,使?x?[a,b],n?N,fn(x)??.

六、（15分）设{an}满足（1）0?ak?100an,n?k?1,k?2,?;（2）级数 求证:limnan?0.

n???an?1?n收敛.

七、（15分）若函数f(x)在[1,??)上一致连续，求证：

3f(x)在[1,??)上有界. x八、（15分）设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在R有连续偏导数，而且对以任意点

(x0,y0,z0)为中心，以任意正数rSr:(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2,z?z0,

恒有

为半径的上半球面

??SrP(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?0.

求证: ?(x,y,z),R(x,y,z)?0,Px(x,y,z)?Qy(x,y,z)?0.