内容发布更新时间 : 2024/12/25 12:22:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第1讲 直线与圆
专题强化训练
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1.(2019·杭州二中月考)已知直线3x-y+1=0的倾斜角为α,则sin 2α+cosα=
2( )
2111A. B.- C. D.- 55420
1sin αcos α+cosα2
解析:选A.由题设知k=tan α=3,于是sin 2α+cosα==22
2cosα+sinαtan α+142
==. 21+tanα105
2.(2019·义乌二模)在平面直角坐标系内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|+|MQ|=( )
A.
10 2
B.10 D.10
2
2
2
C.5
解析:选D.由题意知P(0,1),Q(-3,0),因为过定点P的直线ax+y-1=0与过定点
Q的直线x-ay+3=0垂直,所以MP⊥MQ,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=9+1=10,故选D.
3.(2019·杭州七市联考)已知圆C:(x-1)+y=r(r>0).设条件p:0<r<3,条件
2
2
2
q:圆C上至多有2个点到直线x-3y+3=0的距离为1,则p是q的( )
A.充分不必要条件 C.充要条件
2
2
2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选C.圆C:(x-1)+y=r(r>0),圆心(1,0)到直线x-3y+3=0的距离d=|1-0+3|
=2.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x-3y+3=0的距离为1,可得0<r2<3.则p是q的充要条件.故选C.
4.在平面直角坐标系xOy中,设直线l:y=kx+1与圆C:x+y=4相交于A,B两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数k等于( )
A.1 C.-1
B.2 D.0
2
2
1|k×0-0+1|
解析:选D.由题意知圆心到直线l的距离等于r=1(r为圆C的半径),所以
2k2+1=1,解得k=0.
5.(2019·兰州市诊断考试)已知圆C:(x-3)+(y-1)=1和两点A(-t,0),B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的取值范围是( )
2
2
- 1 -
A.(0,2] C.[2,3]
B.[1,2] D.[1,3]
→→
解析:选D.依题意,设点P(3+cos θ,1+sin θ),因为∠APB=90°,所以AP·BP=0,所以(3+cos θ+t)(3+cos θ-t)+(1+sin θ)=0,得t=5+23cos θ+2sin
2
θ=5+4sin(θ+),因为sin(θ+)∈[-1,1],所以t∈[1,9],因为t>0,所以t∈[1,
2
2
π
3π3
3].
6.圆C:x+y+Dx+Ey-3=0(D<0,E为整数)的圆心C到直线4x-3y+3=0的距离为1,且圆C被截x轴所得的弦长|MN|=4,则E的值为( )
A.-4 B.4 C.-8 D.8
2
2
??解析:选C.圆心C?-,-?.
2??2
?4×?-D?-3×?-E?+3?
??2??2????????
4+(-3)
2
2
DE由题意得=1,
即|4D-3E-6|=10,①
在圆C:x+y+Dx+Ey-3=0中,令y=0得x+Dx-3=0. 设M(x1,0),N(x2,0),则x1+x2=-D,x1x2=-3. 由|MN|=4得|x1-x2|=4, 即(x1+x2)-4x1x2=16, (-D)-4×(-3)=16. 由D<0,所以D=-2.
将D=-2代入①得|3E+14|=10, 4
所以E=-8或E=-(舍去).
3
1
7.动点A与两个定点B(-1,0),C(5,0)的距离之比为,则△ABC面积的最大值为( )
2A.3 B.6 C.9 D.12 解析:选D.设A点坐标为(x,y). |AB|1因为=,
|AC|2
所以2(x+1)+y=(x-5)+y, 化简得x+y+6x-7=0, 即(x+3)+y=16.
所以A的轨迹表示以(-3,0)为圆心,半径为4的圆.
2
2
2
2
22222
22
2
2
- 2 -
所以△ABC面积的最大值为
Smax=|BC|·r=×6×4=12.
x+y≤4,??
8.(2019·浙江省名校联盟质量检测)已知点P的坐标(x,y)满足?y≥x,过点P的直
??x≥1,
线l与圆C:x+y=14相交于A、B两点,则|AB|的最小值是( )
A.26 B.4 C.6 D.2
解析:选B.根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距离为d,求|AB|的最小值等价于求d的最大值,
2
2
1
212
易知dmax=1+3=10, 此时|AB|min=214-10=4, 故选B.
2
2
?1?22
9.过点M?,1?的直线l与圆C:(x-1)+y=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最
?2?
小时,直线l的方程为________.
1-0
解析:易知当CM⊥AB时,∠ACB最小,直线CM的斜率为kCM==-2,从而直线l的
1-12-111?1?
斜率为kl==,其方程为y-1=?x-?.即2x-4y+3=0.
kCM22?2?
答案:2x-4y+3=0
10.已知圆C1:x+y-2mx+4y+m-5=0与圆C2:x+y+2x-2my+m-3=0,若圆
2
2
2
2
2
2
C1与圆C2相外切,则实数m=________.
解析:对于圆C1与圆C2的方程,配方得圆C1:(x-m)+(y+2)=9,圆C2:(x+1)+(y-m)=4,则圆C1的圆心C1(m,-2),半径r1=3,圆C2的圆心C2(-1,m),半径r2=2.如果圆C1与圆C2相外切,那么有|C1C2|=r1+r2,即(m+1)+(m+2)=5,则m+3m-10=0,解得m=-5或m=2,所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2相外切.
答案:-5或2
11.已知圆C:(x-1)+(y-2)=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- 3 -
的最大值为________.
解析:已知圆C:(x-1)+(y-2)=2,所以圆心为C(1,2),半径r=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则PC⊥AB.在△PAC中,∠APC=30°,由正弦定理得|PC|
,所以|PC|=22sin∠PAC≤22,故|PC|的最大值为22.
sin ∠PAC答案:22
12.(2019·台州调研)已知动圆C过A(4,0),B(0,-2)两点,过点M(1,-2)的直线交圆C于E,F两点,当圆C的面积最小时,|EF|的最小值为________.
1
解析:依题意得,动圆C的半径不小于|AB|=5,即当圆C的面积最小时,AB是圆C2的一条直径,此时点C是线段AB的中点,即点C(2,-1),又点M的坐标为(1,-2),且|CM|=(2-1)+(-1+2)=2<5,所以点M位于圆C内,点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦,最短的弦是以该定点为中点的弦)时,|EF|最小,其最小值为2(5)-(2)=23.
答案:23
13.(2019·宁波市余姚中学期中检测)设直线系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:
①M中所有直线均经过一个定点; ②存在定点P不在M中的任一条直线上;
③对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上; ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号).
解析:因为点(0,2)到直线系M:xcos θ+(y-2)·sin θ=1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d=
2
2
2
2
22
2
|AC|
=
sin 30°
=1,直线系M:xcos θ+(y-2)·sin θ=1(0≤θ≤2π)表示22
cosθ+sinθ2
1
圆x+(y-2)=1的切线的集合,
①由于直线系表示圆x+(y-2)=1的所有切线的集合,其中存在两条切线平行,M中所有直线均经过一个定点不可能,故①不正确;
②存在定点P不在M中的任一条直线上,观察知点(0,2)即符合条件,故②正确; ③由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线,所以对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上,故③正确;
④如图,M中的直线所能围成的正三角形有两类,
其一是如△ABB′型,是圆的外切三角形,此类面积都相等,
2
2
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