内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:12:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题13 导数的概念及其运算

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

1

3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；

x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义

函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率Δlimx→0

f?x0＋Δx?－f?x0?

＝l，通常称为f(x)在点

Δx

f?x0＋Δx?－f?x0?

x0处的导数，并记作f′(x0)，即Δlim ＝f′(x0)． x→0Δx

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．

2．函数f(x)的导函数

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)． 3．基本初等函数的导数公式

y＝f(x) y＝C y＝xn y＝xμ (x>0，μ≠0) y＝ax (a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x y′＝f′(x) y′＝0 y′＝nxn－1，n为自然数 y′＝μxμ－1，μ为有理数 y′＝axln a y′＝ex 1y′＝ xln a1y′＝ xy′＝cos x y′＝－sin x 4．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

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?f?x??′＝f′?x?g?x?－f?x?g′?x? (g(x)≠0)． (3)??[g?x?]2?g?x??

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

高频考点一 导数的运算

例1、分别求下列函数的导数： 11??(1)y＝exln x；(2)y＝x?x2＋＋?； xx3??xx

(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln1＋2x.

22

【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【变式探究】求下列函数的导数： (1)y＝x2sin x； cos x(2)y＝；

ex

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π??π??(3)y＝xsin?2x＋?cos?2x＋?； 2??2??(4)y＝ln(2x－5).

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则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，

2x－52x－52

即y′＝.

2x－5

高频考点二 导数的几何意义

例2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.

(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )

A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0

【解析】 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.

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