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概率论与数理统计习（第四版）题解答 第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算

一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现的点数能被3整除”．

（1）写出试验的样本点及样本空间；

（2）把事件A及B分别表示为样本点的集合；

（3）事件A,B,A?B,AB,A?B分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的

集合．

解：设ωi表示“出现i点”(i?1,2,?,6)，则

（1）样本点为ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6；样本空间为??{?1,?2,?3,?4,?5,?6}. （2）A?{ω2,ω4,ω6}； B?{ω3,ω6}.

（3）A?{ω1,ω3,ω5}，表示“出现奇数点”；B?{ω1,ω2,ω4,ω5}，表示“出现的点数不能被3整除”；A?B?{ω2,ω3,ω4,ω6}，表示“出现的点数能被2或3整除”；AB?{ω6}，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；A?B?{ω1,ω5}，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”

二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：

（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A—“点数之和大于10，”B—“点

数之和小于15．”

（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3

只，A—“最小号码为1．”

解：(1) 设ωi表示“点数之和等于i”(i?3,4,?,18)，则

Ω?{ω3,ω4,?,ω18}；

A?{ω11,ω12,?,ω18}；B?{ω3,ω4,?,ω14}.

(2) 设ωijk表示“出现号码为i,j,k”(i,j,k?1,2,?,5;i?j?k)，则

Ω?{ω123,ω124,ω125,ω134,ω135,ω145,ω234,ω235,ω245,ω345} A?{ω123,ω124,ω125,ω134,ω135,ω145}.

三、设A,B,C为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A发生, B与C都不发生； (2) A,B,C都发生；

-可编辑修改-

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(3) A,B,C中至少有两个发生； (4) A,B,C中至多有两个发生． 解：(1) ABC；

(2) ABC；

(3) ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?CA

(4) ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC或A?B?C或ABC.

四、一个工人生产了n个零件，以Ai表示他生产的第 i个零件是合格品（1?i?n）．用Ai表示下列事件：

（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) A1A2?An；

(2) A1A2?An或A1?A2???An； (3) A1A2?An?A1A2?An???A1A2?An (4) A1?A2???An或A1A2?An.

第二章 概率的古典定义·概率加法定理

一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．

1111111C10C10C10C10C10C10?9?106 解：基本事件总数为C91111111C9C8C7C6C5C4?92?8?7?6?5?4 有利事件总数为C9设A表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则

92?8?7?6?5?4P(A)??0.0605

9?106二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．

10?10! 解：基本事件总数为A107?7!种；这三本书按确定的顺序指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为A713?8种；这三本书的排列顺序数为A3?3!；故有利事放在书架上的所以可能的位置共C8件总数为7!?8?3!?8!?3!(亦可理解为P88P33) 设A表示“指定的三本书放在一起”，则

-可编辑修改-

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P(A)?8!?3!1??0.067 10!15

三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个

队被分在不同组内的概率．

10

解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数C20；两个最强的

19C18 队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数C2 设A表示“最强的两队被分在不同组”，则

19C2C1810P(A)???0.526 1019C20

四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．

解：设Ai表示“出现的次品为i件”(i?0,1,2,3,4,5)，A表示“取出的产品中次品不多

于 1个”，则 A?A0?A1.因为A0A1?V，所以P(A)?P(A0)?P(A1).而

50149C95C5C955?25?4747?23P(A0)?50??0.0281 P(A1)???0.152 9504?99?97C1004?99?97C100故 P(A)?0.028? 10.1529?0.181

五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．

解：设A表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B表示“取出的3件产品中没有废品”；

，则 C表示“取出的3件产品中废品不少于2件”

12C6C19418?194?193(1) P(A)???0.0855 3200?199?198C2003C194194?193?192(2) P(B)?3??0.912

C200200?199?1982130C6C194?C6C19490?194?120(3) P(C)???0.00223 3200?199?198C200

六、设P(A)?P(B)?P(C)?, P(AB)?P(AC)?0, P(BC)?概率．

解：因为P(AB)?P(AC)?0，所以AB?V,AC?V，从而(AB)C?V可推出P(ABC)?0

设D表示“A, B, C至少有一事件发生”，则D?A?B?C，于是有

P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC) 11113??????0.75 33344-可编辑修改-

131．求A, B, C至少有一事件发生的 4