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内容发布更新时间 : 2024/6/16 21:04:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一次不定方程(组)及方程的整数解问题

【写在前面】

不定方程(组)是数论中的一个重要课题,不仅是数学竞赛,甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程(组),我们往往只求整数解,甚至是只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.

【本讲重点】

求一次不定方程(组)的整数解

【知识梳理】

不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是往往有无穷多个解,不能唯一确定.

重要定理:

设a、b、c、d为整数,则不定方程ax?by?c有:

定理1 若(a,b)?d,且d不能整除c,则不定方程ax?by?c没有整数解;

x?x0?bt,(t为整数)是方定理2 若(x0,y0)是不定方程ax?by?c且的一组整数解(称为特解),则???y?y0?at程的全部整数解(称为通解). (其中(a,b)?d,且d能整除c).

定理3 若(x0,y0)是不定方程ax?by?1,(a,b)?1的特解,则(cx0,cy0)是方程ax?by?c的一个特解. (其中(a,b)?d,且d能整除c).

求整系数不定方程ax?by?c的正整数解,通常有以下步骤: (1) 判断有无整数解; (2) 求出一个特解; (3) 写出通解;

(4) 有整数t同时要满足的条件(不等式组),代入命题(2)中的表达式,写出不定方程的正整数解. 解不定方程(组),需要依据方程(组)的特点,并灵活运用以下知识和方法:

(1)分离整系数法; (2)穷举法; (3)因式分解法; (4)配方法; (5)整数的整除性; (6)奇偶分析; (7)不等式分析; (8)乘法公式.

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【学法指导】

【例1】求下列不定方程的整数解(1)2x?6y?8 ; (2)5x?10y?13. 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】(1)原方程变形为:x?3y?4, 观察得到??x?1,是x?3y?4的一组整数解(特解), ?y?1?x?1?3t,根据定理2 ,?(t是整数)是原方程的所有整数解.

?y?1?t(2)∵(5,10)=5,但5不能整除13,

∴根据定理1,原方程的无整数解.

【点评】先判断方程是否有整数解,多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的.

【实践】求下列不定方程的整数解(1)7x?14y?211 ; (2)5x?14y?11. x?5?14t,答案:(1)无整数解;(2)?(t是整数) ??y?1?5t【例2】求方程7x?19y?213的所有正整数解.

【分析】此方程的系数较大,不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x ,再将含y的代数式分离出整系数

部分,然后对分数系数部分进行讨论,赋予y不同的整数,寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0,然后再求x0,写出通解,再解不等式组确定方程的正整数解. 【解答】∵(7,19)=1,根据定理2,原方程有整数解.

由原方程可得x?213?19y210?14y?3?5y3?5y, ??30?2y?777 由此可观察出一组特解为x0=25,y0=2.

∴方程的通解为??x?25?19t,(t是整数).

?y?2?7t?25t??,252?25?19t?0,?19 ∴?其中? ∴??t? ∴t??1,0 ?1972?2?7t?0?t???7代入通解可得原方程的正整数解为??x?6,?y?9.?x?25, 或??y?2.【点评】根据定理2解这类方程,若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时,可用一个未知数去表示另一个未知数,再利用整数的知识,这是解二元一次不定方程基本的方法,称为分离整系数法. 这样就容易

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找出一组整数解来.

【实践】求方程31?47y?265的正整数解. 答案: x=4,y=3.

【例3】大客车能容纳54人,小客车能容纳36人,现有378人要乘车,问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.

【分析】本题是不定方程的应用,根据题意列出方程并求出非负整数解即可.

【解答】设需要大客车x辆,小客车y辆,根据题意可列方程 54x?36y?378,即3x?2y?21.

?x?1?2t,?x?1,又(3,2)=1,根据定理2,原方程有整数解. 易知?是一个特解,通解为?(t是整数)

?y?9?9t?y?9?1?2t?0,?x?1,?x?3,?x?5,?x?7,由题意可知? 解得t?0,1,2,3. 相应地? ????9?9t?0?y?9.?y?6.?y?3.?y?0.答:需要大客1车辆,小客车9辆;或需要大客车3辆,小客车6辆;或需要大客车5辆,小客车

3辆;也可以只要大客车7辆,不要小客车.

【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.

【实践】某次考试共需做20道小题,对1道得8分,错一道扣5分,不做不得分.某生共得13分,他没做的题目有几道? 答案:7

【例4】某人的生日月份数乘以31,生日的日期数乘以12,相加后得347,求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是:月份的取值[1,12],日期的取值[1,31].

【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.

〈方法一〉 〈方法二〉

x?5?x?5?12t 特解:??12|(347?31x) 通解:(t是整数) ?12y?347?31x???y?16?y?16?31t?347?31x(mod12) ?1?x?12?1?5?12t?12 ?11?7x(mod12)?x?12t?5(t是整数)

????1?y?31??1?16?31t?31?解得t?0?x?5??是符合题意解.y?16??1?x?12?1?12t?5?12?t?0?x?5把x?5代入原方程得:y?16答:此人的生日为5月16日.

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