内容发布更新时间 : 2024/12/24 11:35:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一次不定方程（组）及方程的整数解问题

【写在前面】

不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.

【本讲重点】

求一次不定方程（组）的整数解

【知识梳理】

不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.

重要定理：

设a、b、c、d为整数，则不定方程ax?by?c有：

定理1 若(a,b)?d,且d不能整除c，则不定方程ax?by?c没有整数解；

x?x0?bt,（t为整数）是方定理2 若(x0,y0)是不定方程ax?by?c且的一组整数解（称为特解），则???y?y0?at程的全部整数解（称为通解）. （其中(a,b)?d,且d能整除c）.

定理3 若(x0,y0)是不定方程ax?by?1，(a,b)?1的特解，则(cx0,cy0)是方程ax?by?c的一个特解. （其中(a,b)?d,且d能整除c）.

求整系数不定方程ax?by?c的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；

（4） 有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：

（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.

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【学法指导】

【例1】求下列不定方程的整数解（1）2x?6y?8 ； （2）5x?10y?13. 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. 【解答】（1）原方程变形为：x?3y?4， 观察得到??x?1,是x?3y?4的一组整数解（特解）， ?y?1?x?1?3t,根据定理2 ，?(t是整数)是原方程的所有整数解.

?y?1?t（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，

∴根据定理1，原方程的无整数解.

【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.

【实践】求下列不定方程的整数解（1）7x?14y?211 ； （2）5x?14y?11. x?5?14t,答案：（1）无整数解；（2）?(t是整数) ??y?1?5t【例2】求方程7x?19y?213的所有正整数解.

【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x ,再将含y的代数式分离出整系数

部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解. 【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.

由原方程可得x?213?19y210?14y?3?5y3?5y， ??30?2y?777 由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.

∴方程的通解为??x?25?19t,(t是整数).

?y?2?7t?25t??,252?25?19t?0,?19 ∴?其中? ∴??t? ∴t??1,0 ?1972?2?7t?0?t???7代入通解可得原方程的正整数解为??x?6,?y?9.?x?25, 或??y?2.【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易

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找出一组整数解来.

【实践】求方程31?47y?265的正整数解. 答案： x=4,y=3.

【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.

【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.

【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 54x?36y?378，即3x?2y?21.

?x?1?2t,?x?1,又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知?是一个特解，通解为?(t是整数)

?y?9?9t?y?9?1?2t?0,?x?1,?x?3,?x?5,?x?7,由题意可知? 解得t?0,1,2,3. 相应地? ????9?9t?0?y?9.?y?6.?y?3.?y?0.答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车

3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.

【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.

【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 答案：7

【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].

【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.

〈方法一〉 〈方法二〉

x?5?x?5?12t 特解：??12|(347?31x) 通解：(t是整数) ?12y?347?31x???y?16?y?16?31t?347?31x(mod12) ?1?x?12?1?5?12t?12 ?11?7x(mod12)?x?12t?5(t是整数)

????1?y?31??1?16?31t?31?解得t?0?x?5??是符合题意解.y?16??1?x?12?1?12t?5?12?t?0?x?5把x?5代入原方程得：y?16答：此人的生日为5月16日.

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