内容发布更新时间 : 2024/7/4 7:53:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数学史上的十个著名不等式

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式． 一、平均不等式（均值不等式）

设，，?，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．

当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．

当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．

设，，?，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当

时等号成立．

平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大

值和最小值即是其应用之一．

设，，?，是个正的变数，则

（1）当积是定值时，和有最小值，且

；

（2）当和是定值时，积有最大值，且

两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即最小值．

时，才能取得最大值或

在中，当时，分别有

，

平均不等式成立；

经常用到的几个特例是（下面出现的时等号

（3）成立；

，当且仅当时等号

（4），当且仅当时等号成立．

二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）

对任意两组实数，，?，；，，?，，有

，其中等号当且仅当

时成立．

柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，?，数）是：

；，?，都表示实

（1），，则

（2）

（3）

柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不

等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位． 三、闵可夫斯基不等式

设，，?，；，，?，是两组正数，，则

（ ）

（ ）

当且仅当时等号成立．

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当的三角形不等式：

时得平面上

右图给出了对上式的一个直观理解．

若记，，则上式为

四、贝努利不等式

（1）设

，且同号，则

（2）设 时，有

，则（ⅰ）当时，有

时等号成立．

；（ⅱ）当或

，上两式当且仅当

不等式（1）的一个重要特例是 五、赫尔德不等式

（ ）．

已知（ ）是个正实数，，则

上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．

六、契比雪夫不等式

（1）若，则

；

（2）若，则

下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．

如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面

积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上

翻折比较即知）．于是有

，也即

七、排序不等式

设有两组数，，?，；，，?，满足则有

，，?，是1，2，?，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或

时成立．

，

，式中的

以上排序不等式也可简记为：

反序和乱序和同序和

这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解． 八、含有绝对值的不等式

为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，

右边的等号仅当是

的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式

，

也可记为

绝对值不等式在实数的条件下用得较多。