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2012年高中数学竞赛讲座 第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1.过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ;引PN ∥BA 交 AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证:P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》

分析:由已知可得MP ′=MP =MB ,NP ′=NP =NC ,故点M 是△P ′BP 的外心,点 N 是△P ′PC 的外心.有

∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC , ∠PP ′C =21∠PNC =2 1 ∠BAC .

∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .

从而,P ′点与A ,B ,C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ,显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .

例2.在△ABC 的边AB ,BC ,CA 上分别取点P ,Q ,S .证明以△APS ,△BQP , △CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》

分析:设O 1,O 2,O 3是△APS ,△BQP ,

△CSQ 的外心,作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外

心性质可知 ∠PO 1S =2∠A , ∠QO 2P =2∠B , ∠SO 3Q =2∠C . ∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+ ∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°

将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3,易判断△KSO 1≌△O 2PO 1,同时可 得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=2 1

∠O 2O 1K =21

(∠O 2O 1S +∠SO 1K =2 1

(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2 A B C P P M N 'A B C Q K P O O O ....S 123 = 2 1

∠PO 1S =∠A ; 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心 三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.

例3.AD ,BE ,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD ,△ PBE ,△PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克

分析:设G 为△ABC 重心,直线PG 与AB

,BC 相交.从A ,C ,D ,E ,F 分别 作该直线的垂线,垂足为A ′,C ′, D ′,E ′,F ′. 易证AA ′=2DD ′,CC ′=2FF ′,2EE ′=AA ′+CC ′,

∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF . 两边各扩大3倍,有S △PBE =S △PAD +S △PCF .

例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成 的新三角形相似.其逆亦真.

分析:将△ABC 简记为△,由三中线AD ,BE ,CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心,连DE 到H ,使EH =DE ,连HC ,HF ,则△′就是△HCF . (1a 2,b 2,c 2成等差数列?△∽△′. 若△ABC 为正三角形,易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ,有

CF =2222221 c b a -+, BE =2222221 b a

c -+, AD =222222