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2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：

3-1-1 第2课时 分数指数幂2课时 分数指数幂

学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义．

知识点一 分数指数幂

思考 根据n次实数方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？ ①a10＝?a2?5＝a2＝a(a>0)； ②a＝?a?＝a＝a(a>0)； ③a＝?a?＝a＝a(a>0)．

梳理 分数指数幂的定义

(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝__________(a>0，m，n均为正整数)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a?mnmn55

1058424

824124

343

124＝__________(a>0，m，n均为正整数)；

(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂____________． 知识点二 有理数指数幂的运算性质 思考 我们知道3×3＝3

梳理 整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂，即

1 / 9

2

3

2＋3

，那么64×64＝64121311?23成立吗？

(1)asat＝as＋t(a>0，s，t∈Q)； (2)(as)t＝ast(a>0，s，t∈Q)； (3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，s，t∈Q)． 知识点三 无理数指数幂

一般地，当a>0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用．

类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化 命题角度1 分数指数幂化根式

例1 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)． 25(1)x；(2)x－.

53

反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握． 跟踪训练1 用根式表示x

命题角度2 根式化分数指数幂

例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.

?12y(x>0，y>0)．

23 2 / 9

(1)a；(2)

5

613a24b36；(3)2；(4)?－a?. a

反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a≤0时，a有时有意义，有时无意义．如(?1)＝

mnmn133

m

－1＝－1，但(?1)就不是实数了．为了保证在取任何有理数时，

n

12a都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．

跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂． (1)

6

82；(2)

3

aa(a>0)；(3)b3·b2；(4)

135x?x2?2

.

类型二 运用指数幂运算公式化简求值 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．

27?17

)3－(29)0.5； (1)(0.027)＋(125(2)(2ab)(?6ab)÷(?3ab)； (3)

3 / 9

23121213165623m＋m－1＋2m?12?m12.