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For personal use only in study and research; not for commercial use

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第六章

For personal use only in study and research; not for commercial use

一、选择题

1. 微分方程y??2xy的通解为 （ A. y?ex2?C； B. y?Cex2；

For personal use only in study and research; not for commercial use

C. y?eCx2； D. y?Cex.

2. 函数y?c1e2x?c2是微分方程y???y??2y?0的 （ A. 通解； B. 特解；

C. 不是解； D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解.

3. 设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解，C1,C2是任意常数，则该方程的通解是 （ A. C1y1?C2y2?y3； B. C1y1?C2y2?(C1?C2)y3； C. C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3； D. C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3. 4. 微分方程xy??y?x2?y2是 （ A. 可分离变量的微分方程； B. 齐次微分方程；

C. 一阶线性齐次微分方程； D. 一阶线性非齐次微分方程.

二、填空题

1. 微分方程xy??ylny的通解是 . 2. 方程y??y2sinx的奇解为_______________.

） ）

）

）

3. 微分方程3x2?5x?5y??0的通解是 .

d2sds4. 微分方程42?20?25s?0的通解为 .

dtdt

三、解答题

1. 求微分方程

dy?2xy的通解. dx2. 求下列一阶微分方程满足所给初始条件的特解． （1）

5dyysinx??，y(?)?1； （2）y??2y?ex?x，y(0)?．

4dxxx3. 解方程：y????e2x?cosx.

dy?3y?8满足初始条件ydx5. 求微分方程y???4y?e2x的通解.

4. 求方程

2xx?0?2的特解.

6. 求微分方程y???5y??6y?xe的通解. 7.设函数y?(1?x)2u(x)是方程y??8. 求下列贝努利方程的通解．

2y?(x?1)3的通解，求u(x).x?1

y?y2?0. 1?x（1）2x2y'?xy?x4y3?0； （2）y??9. 求齐次方程(y?2xy)dx?(x?2xy)dy的通解．

10. 求解下列初值问题： y???(y?)?1，y(0)?0，y?(0)?0． 11. 求微分方程xy''?xy'?1 通解． 12. 求下列方程的通解．

2222（1）y???4y??5y?0； （2）y???4y??5?0； （3）y???4y??4y?xe； （4）y???y??2y?8sin2x．

22x2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第六章参考答案

一、选择题

1. B； 2. D； 3. D； 4. B； 二、填空题

t1312Cx21.y?e； 2.y?0； 3.y?x?x?C； 4. s?(C1?C2t)e.

525三、解答题

1.解 原方程为分离变量的微分方程，

分离变量可得

dy?2xdx， y 两边积分：

dy2?y??2xdx，得lny?x?C1，其中C1为任意常数，

x2整理有：y?Ce，其中C为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 y?e?lnx[ =y?e??xdx1sinx?xdx[?edx?C]

x1sinxlnx11edx?C](sinxdx?C)(?cosx?C)， ==?x?xx又y(?)?1，得C???1，故满足条件y(?)?1的特解为

1(?cosx???1). x?2dx2dx11x?Ce2x?ex?x?， （2）y?[C??(e?x)e?dx]e?245112xx将y(0)?代人，得C?2，故所求特解为y?2e?e?x?．

42412x3. 解：对所给方程接连积分三次得，y???e?sinx?C1，

211Cy??e2x?cosx?Cx?C2，y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3 (C1?).

482y?4. 解：原方程可变形为

dydy?8?3y，分离变量可得?dx， dx8?3y8， 3?3x?两边积分：ln3y?8??3x?C1，其中C1为任意常数，所以y?Ce