内容发布更新时间 : 2025/1/4 3:44:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题1.2 1．

dydx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：

dyy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c

y=e

x2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e

2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy

dyy2x2.

dy=-

1x?1dx

两边积分: -

1y=-ln|x+1|+ln|c| y=

1ln|c(x?1)|

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=

1ln|c(x?1)|

3．

dydx=

1?y23

xy?xydydx1?yy2 解：原方程为：=

1?yy21x?x3

dy=

1x?x3dx

两边积分：x(1+x)(1+y)=cx

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：

1?yy222dy=-

x?1xdx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dydx=-yxx?yx?y

dydx1xdudx令-

=u 则du=

=u+x 代入有：

u?1u2dx

?1ln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctg6. x

dydxyx2.

-y+

x2?y2=0

yx|x|xdudx1xyx 解：原方程为：

yx11?u2dydx=+-1?()

2则令=u

dydx=u+ x

du=sgnx

yxdx

arcsin=sgnx ln|x|+c

7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：

dytgy=

dxctgx

两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=

1ccosx=

ccosx 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c. 8

dydx+

ey?3x2=0

ydydx2 解：原方程为：=

eye3x

y2 e

3x-3e

?y2=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：

令

yxdydxdydx=

yxln

yxdudx

=u ,则=u+ x

u+ x

dudx=ulnu

ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln

10.

dydxyx=cy.

=ex?y

dydx 解：原方程为：

ey=cex

11

dydx=exe?y

=(x+y)2

dydxdudx11?u2 解：令x+y=u,则

-1=u2

=

dudx-1

du=dx

arctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c

12.

dydx=

1(x?y)2

dydxdudx解：令x+y=u,则

dudx=-1

-1=

1u2

u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.

dydx=

2x?y?1x?2y?1

解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+x=c xy-y+y-x-x=c 14:

dydx2222=

x?y?5x?y?2

解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(

12y+2y)-d(

212x+5x)=0

2