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2017年全国高中数学联赛A卷

一试

一、填空题

1.设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x?3)?f(x?4)??1.又当0?x?7时，f(x)?log2(9?x)，则f(?100)的值为__________.

2.若实数x,y满足x?2cosy?1，则x?cosy的取值范围是__________.

2x2y2??1，F为C的上焦点，A为C的3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为:910右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥P?ABC中，AB?1，AP?2，过AB的平面?将其体积平分，则棱PC与平面?所成角的余弦值为__________.

6.在平面直角坐标系xOy中，点集K?(x,y)x,y??1,0,1?.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.

7.在?ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若?A???3，?ABC的面积为

3，则AM?AN的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列?an?,?bn?满足：a10?b10?2017，对任意正整数n，有

an?2?an?1?an，bn?1?2bn，则a1?b1的所有可能值为__________.

二、解答题

9.设k,m为实数，不等式x2?kx?m?1对所有x??a,b?成立.证明：b?a?22.

10.设x1,x2,x3是非负实数，满足x1?x2?x3?1，求(x1?3x2?5x3)(x1?小值和最大值.

x2x3?)的最3511.设复数z1,z2满足Re(z1)?0，Re(z2)?0，且Re(z1)?Re(z2)?2（其中Re(z)表示复数z的实部）.

（1）求Re(z1z2)的最小值；

（2）求z1?2?z2?2?z1?z2的最小值.

222017年全国高中数学联赛A卷

二试

一.如图，在?ABC中，AB?AC，I为?ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆?1，以I为圆心，IB为半径作圆?2，过点B,I的圆?3与?1,?2分别交于点P,Q（不同于点B）.设

IP与BQ交于点R.证明：BR?CR

二.设数列?an?定义为a1?1，an?1???an?n,an?n,?an?n,an?n,n?1,2,?.求满足ar?r?32017的正整数r的个数.

三.将33?33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设m,n均是大于1的整数，m?n，a1,a2,?,an是n个不超过m的互不相同的正整数，且a1,a2,?,an互素.证明：对任意实数x，均存在一个i(1?i?n)，使得

aix?

2x，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.

m(m?1)2017年全国高中数学联赛A卷

一试答案

1.

2.

3.

4.

5.