内容发布更新时间 : 2025/5/17 17:22:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第01讲 导数的运算及导数的几何意义 ---讲

1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.

2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如f(ax?b))的导数）. 3. 高考预测：

（1）导数的运算将依然以工具的形式考查；

（2）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现.

（3）对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有： ①求切线斜率、倾斜角、切线方程． ②确定切点坐标问题． ③已知切线问题求参数． ④切线的综合应用． 4.备考重点：

（1）熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； （2）熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.

知识点1．导数的概念

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即

.

2．函数f(x)的导函数

称函数为f(x)的导函数．

【典例1】一质点运动的方程为s?8?3t2. （1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

1

（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1）?6?3?t；（2）?6. 【解析】（1）∵s?8?3t2

∴Δs=8-3(1+Δt)-(8-3×1)=-6Δt-3(Δt),

2

2

2

.

（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度求导法：质点在t时刻的瞬时速度

，当t=1时，v=-6×1=-6.

【规律方法】

1.根据导数的定义求函数y?f(x)在点x0处导数的方法： ①求函数的增量

；

②求平均变化率；

③得导数，简记作：一差、二比、三极限.

2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数

【变式1】若f?(x0)??3，则

（ ）

A．?3 B．?12 C．?9 D．?6 【答案】B

【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以

2

，选B；

法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以

（其中：

），故选B.

知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x 2．导数的运算法则

（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1 f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f′(x)＝axlna f′(x)＝ex f′(x)＝1 xln af′(x)＝ x1（3）

(4) 复合函数的导数

(g(x)≠0)．

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【典例2】【2018年天津卷文】已知函数f(x)=elnx，【答案】e

x为f(x)的导函数，则的值为__________．

3

【总结提升】

1.求函数导数的一般原则如下：

(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数的求导方法

求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；

③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程. 【变式2】【2018届陕西省咸阳市三模】已知三次函数

的图象如图所示，则

__________．

【答案】1. 【解析】

，由

∴∴

，，

，

的图象知

，

故答案为1.

4